「楔数」の版間の差分

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'''楔数'''(くさびすう、{{lang-en-short|sphenic number}})は、[[自然数]]の内、異なる 3 つの[[素数]]の[[積]]で表される[[合成自然数]]のこと。例えば66は 2×3×11 と3つの異なる素数の積に[[素因合成分解]]されるで楔数ことである。楔数は無数に存在しており、そのうち最も小さい数は最小の3つの素数 2,3,5 の積である30である。楔数を30から小さい順に列挙すると
: [[30]], [[42]], [[66]], [[70]], [[78]], [[102]], [[105]], [[110]], [[114]], [[130]], [[138]], [[154]], [[165]], [[170]], [[174]], [[182]], [[186]], [[190]], [[195]], [[222]], [[230]], [[231]], [[238]], [[246]], [[255]], … ({{OEIS|A007304}})
 
例えば、66 は 2 × 3 × 11 と 3 つの相異なる素数の積に[[素因数分解]]されるので楔数である。楔数は無数に存在し、そのうち最小の数は最小の 3 つの素数 2, 3, 5 の積の 30 である。
== 性質 ==
楔数nはそれぞれ異なる素数 p,q,r を用いて n=pqr と表され、[[約数]]は 1, p, q, r, pq, qr, rp, pqr の8つである。
 
楔数を 30 から小さい順に列挙すると
全ての楔数は1以外の[[平方数]]を約数に持たず、<math>\mu(n)=-1</math> を満たす。ただしμは[[メビウス関数]]である。
: [[30]], [[42]], [[66]], [[70]], [[78]], [[102]], [[105]], [[110]], [[114]], [[130]], [[138]], [[154]], [[165]], [[170]], [[174]], [[182]], [[186]], [[190]], [[195]], [[222]], [[230]], [[231]], [[238]], [[246]], [[255]], … (…({{OEIS|A007304}})
 
== 性質 ==
*2つの連続する自然数がともに楔数であるような組のうち最小のものは 230=2×5×23, 231=3×7×11 である。
* 楔数 n はそれぞれ異なる素数 p, q, r を用いて n = pqr と表され、[[約数]]は 1, p, q, r, pq, qr, rp, pqr の 8 のみである。
*3つの連続する自然数が全て楔数で同様の組は 1309=7×11×17, 1310=2×5×131, 1311=3×19×23 である。中央の数だけ列挙すると 1310, 1886, 2014, 2666, 3730...である。10000までに21組ある。({{OEIS|A248202}})
全ての* 楔数 n 1 以外の[[平方数]]を約数に持たない([[平方因子をもたない整数|無平方数]]である)ので、<math>\mu(n) = -1</math> を満たす。ただし μ は[[メビウス関数]]である。
*連続する4つ(あるいはそれ以上)の整数が全て楔数であるような組は存在しない。なぜなら連続する4整数のうち一つは4の倍数、すなわち1以外の平方数を約数に持つ数であり楔数ではないからである。
* 2 つの連続する自然数がともに楔数であるような組のうち最小のもの(230=2×5×23, 231=3×7×11) である。(230 = 2 × 5 × 23, 231 = 3 × 7 × 11)
*1~100までは5個、1~1000までは135個、1~10000までは1800個ある。
* 3 つの連続する自然数が全て楔数で同様の組は (1309, 1310, 1311) である。(1309 = 7 × 11 × 17, 1310 = 2 × 5 × 131, 1311 = 3 × 19 × 23)
*楔数が[[三角数]]であるものは [[66]], [[78]], [[105]], [[190]], [[231]], [[406]], [[435]], [[465]], [[561]], [[595]]<math>\cdots</math> ({{OEIS|A128896}})
*3つの連続する自然数が全て楔数で同様の組は* 1309=7×11×17, 1310=2×5×131, 1311=3×19×23 である。中央の数だけを小さい順に列挙すると 1310, 1886, 2014, 2666, 3730..., …である。り、10000 までに 21 組ある。({{OEIS|A248202}})
*連続する 4 (あるいはそれ以上連続する自然数が全て楔数であるような組は存在しない。なぜなら連続する4整数のうちば、少なくとも一つは 4 の倍数、すなわち1以外の平方数 2<sup>2</sup> を約数に持つ数であり楔数でないからである。
*1~100 楔数は 1 から 100 までは 5 個、1~10001 から 1000 までは 135 個、1~100001 から 10000 までは 1800 個ある。
* 楔数のうち[[三角数]]であるものは [[66]], [[78]], [[105]], [[190]], [[231]], [[406]], [[435]], [[465]], [[561]], [[595]]<math>\cdots</math>, (…({{OEIS|A128896}})
 
== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Sphenic Number|urlname=SphenicNumber}}
 
[[Category{{DEFAULTSORT:数論|くさひすう]]}}
[[Category:の類|くさひすう]]
[[Category:学に関する記事|くさひすうの類]]
[[Category:数学に関する記事]]
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