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数学では、'''岩澤理論の主予想''' (main conjecture of Iwasawa theory) は、[[p-進L-函数]]と[[円分体]]の[[イデアル類群]]との間の深い関係であり、[[岩澤健吉]]の{{harvtxt|論文Iwasawa|1969}} で{{仮リンク|クンマー・ヴァンディヴァー予想|en|Kummer–Vandiver conjecture}}(Kummer–Vandiver conjecture)を満たす素数に対して証明され、すべての素数に対しては {{harvs|txt|last1=Mazur|last2=Wiles|year=1984}} により証明された。{{仮リンク|エルブラン・リベの定理|en|Herbrand–Ribet theorem}}(Herbrand–Ribet theorem)と{{仮リンク|グラス予想|en|Gras conjecture}}(Gras conjecture)が両方ともこの主予想より容易に導ける結果である。
この主予想にはいくつかの一般化があり、[[総実体]]や [[CM体]]や、[[楕円曲線]]などへ一般化される。
<!--In [[mathematics]], the '''main conjecture of Iwasawa theory''' is a deep relationship between [[p-adic L-function|''p''-adic ''L''-functions]] and [[ideal class group]]s of [[cyclotomic field]]s, proved by {{harvtxt|Iwasawa|1969}} for primes satisfying the [[Kummer–Vandiver conjecture]] and proved for all primes by
{{harvs|txt|last1=Mazur|last2=Wiles|year=1984}}. The [[Herbrand–Ribet theorem]] and the [[Gras conjecture]] are both easy consequences of the main conjecture.
There are several generalizations of the main conjecture, to [[totally real field]]s, [[CM field]]s, [[elliptic curve]]s, and so on.-->
==動機==
有限体上の代数曲線のゼータ函数のヴェイユによるヤコビ多様体上のフロベニウス自己準同型の固有値の項による記述の類似に、{{harvtxt|Iwasawa|1969}} は、部分的には動機を持っている。
*フロベニウス自己準同型の作用は、群 Γ の作用に対応している。
*曲線のヤコビ多様体は、イデアル類群の項で定義された Γ 上の加群 X に対応する。
*有限体上の代数曲線のゼータ函数は、p-進L-函数に対応する。
*フロベニウス自己準同型を代数曲線のゼータ函数の零点に関連付けるヴェイユの定理は、X 上の岩澤代数の作用を p-進ゼータ函数の零点へ関連付ける岩澤主予想と対応する。
<!--==Motivation==
{{harvtxt|Iwasawa|1969}} was partly motivated by an analogy with Weil's description of the zeta function of an algebraic curve over a finite field in terms of eigenvalues of the Frobenius endomorphism on its Jacobian. In this analogy,
*The action of the Frobenius corresponds to the action of the group Γ.
*The Jacobian of a curve corresponds to a module ''X'' over Γ defined in terms of ideal class groups
*The zeta function of a curve over a finite field corresponds to a ''p''-adic ''L''-function.
*Weil's theorem relating the eigenvalues of Frobenius to the zeros of the zeta function of the curve corresponds to Iwasawa's main conjecture relating the action of the Iwasawa algebra on ''X'' to zeros of the ''p''-adic zeta function.-->
==歴史==
岩澤理論の主予想は、p-進L-関数の定義の二つの方法（加群論によるものと、補完法によるもの）が、[[well-defined]]である限りは、一致しているという形で定式化された。これは {{harvtxt|Mazur|Wiles|1984}} により '''Q''' に対し証明され、すべての[[総実体]]に対しては {{harvtxt|Wiles|1990}}により証明された。これらの証明は、エルブランの定理（{{仮リンク|エルブラン・リベの定理|en|Herbrand–Ribet theorem}}(Herbrand–Ribet theorem)）の逆を証明した{{仮リンク|ケン・リベ|en|Ken Ribet}} (Ken Ribet) の証明をモデルとしている。
{{仮リンク|カール・ルービン|en|Karl Rubin}} (Karl Rubin) は、メイザー・ワイルズの定理のより初等的な証明を見つけた。この証明は、コリヴァギン (Kolyvagin) の{{仮リンク|オイラー系|en|Euler system}}(Euler system)を使い{{harvtxt|Lang|1990}} と {{harvtxt|Washington|1997}} で記述されており、後に、虚二次体に対する主予想の別の一般化を証明した<ref name=MP246>Manin & Panchishkin (2007) p. 246.</ref>。
<!--==History==
The main conjecture of Iwasawa theory was formulated as an assertion that two methods of defining p-adic L-functions (by module theory, by interpolation) should coincide, as far as that was well-defined. This was proved by {{harvtxt|Mazur|Wiles|1984}} for '''Q''', and for all [[totally real number field]]s by {{harvtxt|Wiles|1990}}. These proofs were modeled upon [[Ken Ribet]]'s proof of the converse to Herbrand's theorem (the [[Herbrand–Ribet theorem]]).
[[Karl Rubin]] found a more elementary proof of the Mazur–Wiles theorem by using Kolyvagin's [[Euler system]]s, described in {{harvtxt|Lang|1990}} and {{harvtxt|Washington|1997}}, and later proved other generalizations of the main conjecture for imaginary quadratic fields.<ref name=MP246>Manin & Panchishkin (2007) p.246</ref>-->
==ステートメント==
*p は素数である。
*F<sub>n</sub> は体 '''Q'''(ζ) であり、ここに ζ は位数 p<sup>n + 1</sup> の1の冪根である。
*Γ は F<sub>∞</sub> の絶対ガロア群の部分群であり、p-進整数のなす加法群に同型である。
*γ は Γ の位相的な生成子である。
*H<sub>∞</sub> はガロア群 H<sub>n</sub> の逆極限である。
*V はベクトル空間 H<sub>∞</sub>⊗<sub>'''Z'''<sub>p</sub></sub>'''Q'''<sub>p</sub> である。
*ω は{{仮リンク|タイヒミューラー指標|en|Teichmüller character}}(Teichmüller character)である。
*V<sup>i</sup> は、V の ω<sup>i</sup> 固有空間である。
*h(ω<sup>i</sup>, T) は、ベクトル空間 V<sup>i</sup> 上に作用する γ の特性多項式である。
*L<sub>p</sub> は[[p-進L-函数]]である。B を[[一般ベルヌーイ数]]としたとき、L<sub>p</sub>(ω<sup>i</sup>,1–k 1 − k) = –B−B<sub>k</sub>(ω<sup>i–ki − k</sup>)/k が成り立つ。
*G<sub>p</sub> は、G<sub>p</sub>(ω<sup>i</sup>, u<sup>s</sup>–1 − 1) = L<sub>p</sub>(ω<sup>i</sup>, s) のべき級数である。
メイザーとワイルズによる証明された岩澤理論の主予想は、i を mod p - 1 で 1 と合同でない奇数とすると、h<sub>p</sub>(ω<sup>i</sup>,T) で生成された '''Z'''<sub>p</sub><nowiki>[[</nowiki>T<nowiki>]]</nowiki> のイデアルと、G<sub>p</sub>(ω<sup>1–i</sup>,T) は等しいというものである。
<!--==Statement==
*''p'' is a prime number.
*''F''<sub>''n''</sub> is the field '''Q'''(ζ) where ζ is a root of unity of order ''p''<sup>''n''+1</sup>.
*Γ is the subgroup of the absolute Galois group of ''F''<sub>∞</sub> isomorphic to the ''p''-adic integers.
*γ is a topological generator of Γ
*''L''<sub>''n''</sub> is the ''p''-Hilbert class field of ''F''<sub>''n''</sub>.
*''H''<sub>''n''</sub> is the Galois group Gal(''L''<sub>''n''</sub>/''F''<sub>''n''</sub>), isomorphic to the subgroup of elements of the ideal class group of ''F''<sub>''n''</sub> whose order is a power of ''p''.
*''H''<sub>∞</sub> is the inverse limit of the Galois groups ''H''<sub>''n''</sub>.
*''V'' is the vector space ''H''<sub>∞</sub>⊗<sub>'''Z'''<sub>''p''</sub></sub>'''Q'''<sub>''p''</sub>.
*ω is the [[Teichmüller character]].
*''V''<sup>''i''</sup> is the ω<sup>''i''</sup> eigenspace of ''V''.
*''h''(ω<sup>''i''</sup>,''T'') is the characteristic polynomial of γ acting on the vector space ''V''<sup>''i''</sup>
*''L''<sub>''p''</sub> is the [[p-adic L function]] with ''L''<sub>''p''</sub>(ω<sup>''i''</sup>,1–''k'') = –B<sub>''k''</sub>(ω<sup>''i''–''k''</sup>)/''k'', where ''B'' is a [[generalized Bernoulli number]].
*''G''<sub>''p''</sub> is the power series with ''G''<sub>''p''</sub>(ω<sup>''i''</sup>,''u''<sup>''s''</sup>–1) = ''L''<sub>''p''</sub>(ω<sup>''i''</sup>,''s'')
The main conjecture of Iwasawa theory proved by Mazur and Wiles states that if ''メイザーとワイルズによる証明された岩澤理論の主予想は、i'' isを anmod oddp integer- not congruent1 toで 1 mod ''と合同でない奇数とすると、h<sub>p''–1</sub>(ω<sup>i</sup>, thenT) the ideals ofで生成された '''Z'''<sub>''p''</sub><nowiki>[[</nowiki>''T''<nowiki>]]</nowiki> generated by ''h''のイデアルと、G<sub>''p''</sub>(ω<sup>''i''</sup>,''T'')1 and− ''G''<sub>''p''</sub>(ω<sup>1–''i''</sup>,''T'') are equal.-->は等しいというものである。
==参考文献==
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