「微分」の版間の差分
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m bot: 解消済み仮リンクワイエルシュトラスの近似定理、微分写像を内部リンクに置き換えます |
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==== 多項式近似 ====
{{seealso|
[[実数直線]]上で定義される任意の[[多項式函数]]は無限回微分可能である。標準的な{{仮リンク|微分法則|en|differentiation rules}}により、次数 {{mvar|n}} の多項式は {{mvar|n}} 回微分して[[定数函数]]にすることができる。それ以上高階の導函数は恒等的に零に等しい。特にそれらは存在するのだから、多項式函数は {{mvar|C{{sup|∞}}}}-級の滑らかな函数である。
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微分の概念を多くの他の状況設定の下でも拡張して定義することができる。共通することは、一つの点における函数の導函数がその点における函数の[[線型近似]]として働くことである。
* 実函数の微分の重要な一般化は、[[ガウス平面]]上の[[領域 (解析学)|領域]]からガウス平面 {{math|'''C'''}} への函数のような[[複素数|複素]]変数の{{仮リンク|複素函数|en|complex function}}の微分である。複素函数の微分の概念は、実函数の微分の定義において実変数であるところを複素変数に置き換えることで得られる。二つの実数 {{mvar|x, y}} を用いて複素数 {{math|''z'' {{=}} ''x'' + ''i'' ''y''}} と書くことによりガウス平面 {{math|'''C'''}} を座標平面 {{math|'''R'''<sup>2</sup>}} と同一視するとき、{{math|'''C'''}} から {{math|'''C'''}} への複素可微分函数は {{math|'''R'''<sup>2</sup>}} から {{math|'''R'''<sup>2</sup>}} へのある種の（その偏導函数が全て存在するという意味での）実可微分函数とみなすことができるが、逆は一般には成り立たない（複素微分が存在するのは実導函数が「複素線型」であるときに限り、これは二つの偏導函数が[[正則関数#コーシー・リーマンの方程式|コーシー–リーマン方程式]]と呼ばれる関係式を満足することを課すものである）。[[正則函数]]の項を参照。
* 別の一般化として[[可微分多様体]]（滑らかな多様体）の間の写像の微分を考えることができる。直観的に言えば、可微分多様体 {{mvar|M}} とはその各点 {{mvar|x}} の近くで[[接空間]]と呼ばれる[[ベクトル空間]]によって近似することのできる空間である（原型的な例は {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} 内の{{仮リンク|滑らかな曲面|en|smooth surface}}である）。そのような多様体間の可微分写像 {{math|''f'': ''M'' → ''N''}} の点 {{math|''x'' ∈ ''M''}} における微分係数あるいは微分は、{{mvar|x}} における {{mvar|M}} の接空間から {{mvar|''f''(''x'')}} における {{mvar|N}} の接空間への[[線型写像]]であり、導函数は {{mvar|M}} の[[接束]]から {{mvar|N}} の接束への写像となる。この定義は[[微分幾何学]]において基本的であり、多くの応用がある。
* [[バナッハ空間]]や[[フレシェ空間]]のような[[無限次元]][[線型空間]]の間の写像に対する微分法も定義できる。[[方向微分]]の一般化である[[ガトー微分]]や[[函数の微分]]の一般化である[[フレシェ微分]]などがある。
* 古典的な微分の欠点は微分可能な函数がそれほどまでには多くないことである。それにも関わらず、微分の概念を拡張して任意の[[連続函数]]やほかの多くの函数を微分可能とするものに、[[弱微分]]がある。これは連続函数をより大きな[[シュヴァルツ超函数|分布]]の空間に埋め込んで、「平均の上で」のみ微分可能性を課すというものである。
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