「ホモロジー代数学」の版間の差分

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=== アーベル圏 ===
{{Main|アーベル圏}}
[[数学]]において、'''アーベル圏''' (abelian category) は、[[射]]や対象を足すことができ、[[核 (圏論)|核]]や[[余核]]が存在し望ましい性質をもった[[圏]]である。動機付けるプロトタイプのアーベル圏の例は{{仮リンク|[[アーベル群の圏|en|category of abelian groups}}]] '''Ab''' である。理論の起源は [[アレクサンドル・グロタンディーク]] (Alexander Grothendieck) によるいくつかの[[コホモロジー論]]を統合しようとする試験的な試みである。アーベル圏はとても''安定'' (stable) である。例えば、{{仮リンク|正則圏|label=正則|en|regular category}}であり、[[蛇の補題]]を満たす。アーベル圏のクラスはいくつかの圏論的構成で閉じている。例えば、アーベル圏の[[鎖複体|チェイン複体]]の圏や、{{仮リンク|小さい圏|en|small category}}からアーベル圏への[[関手]]の圏は、再びアーベル圏である。これらの安定性によってアーベル圏はホモロジー代数学やその先で必要不可欠なものである。理論は[[代数幾何学]]、[[コホモロジー]]、そして純粋に[[圏論]]において、主要な応用をもつ。アーベル圏は [[ニールス・アーベル]] (Niels Henrik Abel) にちなんで名づけられている。
 
より具体的には、圏が'''アーベル圏'''であるとは以下を満たすことである。
=== Tor 関手 ===
{{Main|Tor関手}}
''R'' を[[環 (数学)|環]]とし、''R''-'''Mod''' によって左 ''R''-加群の[[圏]]を、'''Mod'''-''R'' によって右 ''R''-加群の圏を表記する。(''R'' が[[可換環]]であれば、2つの圏は一致する。固定された加群 ''B'' in ''R''-'''Mod''' を選ぶ。''A'' in '''Mod'''-''R'' に対し、''T''(''A'') = ''A''&otimes;<sub>''R''</sub>''B'' とおく。すると ''T'' は '''Mod'''-''R'' からto the {{仮リンク|[[アーベル群の圏|en|category of abelian groups}}]] '''Ab''' への[[右完全関手]]である(''R'' が可換なときには、'''Mod'''-''R'' から '''Mod'''-''R'' への右完全関手である)。そしてその左[[導来関手]] ''L<sub>n</sub>T'' が定義される。
 
: <math>\mathrm{Tor}_n^R(A,B)=(L_nT)(A)</math>
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