「ブラ-ケット記法」の版間の差分

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{{出典の明記|date=2017年4月15日 (土) 06:51 (UTC)}}
'''ブラ-ケット記法'''(ブラ-ケットきほう、{{lang-en-short|bra-ket notation}})は[[量子力学]]における[[量子状態]]を記述するための標準的な記法である。
 
この名称は、2つの状態の[[内積]]が[[括弧#山括弧〈〉|'''ブラケット''']]を用いて <{{math style="vertical|{{bra-align: -26%; line-height:100%;">\langle\ket|''&phi;''|\''&psi\rangle</math>;''}}}} のように表され、この左半分 <{{math style="vertical-align: -26%|{{bra|''&phi; line-height:100%;">\langle\phi|</math>''}}}} を'''ブラ'''[[ベクトル空間|ベクトル]]、右半分 <{{math style="vertical-align: -26%; line-height:100%;">|\{{ket|''&psi\rangle</math>;''}}}} を'''ケット'''ベクトルと呼ぶことによる。この記法は[[ポール・ディラック]]が発明したため、'''ディラックの記法'''とも呼ぶ。
 
== 正規直交基底とブラケット記法 ==
[[正規直交系|正規直交基底]]のうち2つのラベルを α{{Mvar|&alpha;,β &beta;}} として、内積をブラ-ケット記法で表すと
 
:<math>\langle\alpha|\beta\rangle=\delta_{\alpha\beta}</math>
[[正規直交系|正規直交基底]]のうち2つのラベルを α,β として、内積をブラ-ケット記法で表すと
となる<ref>基底が連続的な場合は、[[クロネッカーのデルタ]] <math>\delta_{\{mvar|&delta;{{sub|&alpha\;&beta;}}}}</math> を[[ディラックのデルタ関数]] <{{math>\|''&delta;''(\''&alpha-\;'' &minus; ''&beta;'')</math>}} に置き換える。</ref>
 
<math>\langle\alpha|\beta\rangle=\delta_{\alpha\beta}</math>
 
となる(基底が連続的な場合は、[[クロネッカーのデルタ]] <math>\delta_{\alpha\beta}</math> を[[ディラックのデルタ関数]] <math>\delta(\alpha-\beta)</math> に置き換える)。
 
また正規直交基底の[[完全系|完全性]]は
:<math>\sum_\alpha|\alpha\rangle\langle\alpha|=1</math>
 
と表現される<ref>基底が連続的な場合は、[[総和]] <{{math>\sum_\|{{sum|b=''&alpha</math>;''|style=d}}}} を[[積分]] <{{math>\|&int ;d\''&alpha</math>;''}} に置き換える。</ref>
<math>\sum_\alpha|\alpha\rangle\langle\alpha|=1</math>
 
と表現される(基底が連続的な場合は、[[総和]] <math>\sum_\alpha</math> を[[積分]] <math>\int d\alpha</math> に置き換える)。
 
== 第二量子化とブラケット記法 ==
[[第二量子化]]された粒子[[生成消滅演算子|生成演算子]] {{math|''a''<mathsup>a^\&dagger;</mathsup>}} を用いて2粒子状態を
 
:<math>|\alpha\beta\rangle=a^\dagger_\alpha a^\dagger_\beta |0\rangle=a^\dagger_\beta a^\dagger_\alpha |0\rangle=|\beta\alpha\rangle</math>
[[第二量子化]]された粒子[[生成消滅演算子|生成演算子]] <math>a^\dagger</math> を用いて2粒子状態を
と定義する。この時 <{{math>|''a^\''<sup>&dagger;</mathsup>}} が[[フェルミ粒子]]を表す[[演算子]]なら、これらは[[反交換関係]] <{{math>\|{{(}}{{SubSup|a^\dagger_\|''&alpha;''|&dagger;}}, {{SubSup|a^\dagger_\|''&beta\;''|&dagger;}}{{)}} {{=}} 0</math>}} を満たすので、
 
:<math>|\alpha\beta\rangle=a^\dagger_\alpha a^\dagger_\beta |0\rangle=-a^\dagger_\beta a^\dagger_\alpha |0\rangle=-|\beta\alpha\rangle</math>
 
と定義する。この時 <math>a^\dagger</math> が[[フェルミ粒子]]を表す[[演算子]]なら、これらは[[反交換関係]] <math>\{a^\dagger_\alpha,a^\dagger_\beta\}=0</math> を満たすので、
 
<math>|\alpha\beta\rangle=a^\dagger_\alpha a^\dagger_\beta |0\rangle=-a^\dagger_\beta a^\dagger_\alpha |0\rangle=-|\beta\alpha\rangle</math>
 
となり、反対称化されている。
 
また <{{math>|''a^\''<sup>&dagger;</mathsup>}} が[[ボース粒子]]を表す演算子であれば、これらは[[交換関係 (量子力学)|交換関係]] <{{math>|[{{SubSup|a^\dagger_\|''&alpha;''|&dagger;}}, {{SubSup|a^\dagger_\|''&beta;''|&dagger;}}] {{=}} 0</math>}} を満たすので、
:<math>|\alpha\beta\rangle=a^\dagger_\alpha a^\dagger_\beta |0\rangle=-a^\dagger_\beta a^\dagger_\alpha |0\rangle=-|\beta\alpha\rangle</math>
となり、対称化されている。
 
== 脚注 ==
<math>|\alpha\beta\rangle=a^\dagger_\alpha a^\dagger_\beta |0\rangle=a^\dagger_\beta a^\dagger_\alpha |0\rangle=|\beta\alpha\rangle</math>
{{脚注ヘルプ}}
 
{{Reflist}}
となり、対称化されている。
 
{{DEFAULTSORT:ふらけつときほう}}
{{Physics-stub}}
{{Math-stub}}
[[Category:量子力学]]
[[Category:情報理論]]
{{Physics-stub}}
{{Math-stub}}