「運動の第3法則」の版間の差分
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'''運動の第3法則'''（うんどうのだいさんほうそく、{{Lang-en-short|Newton's third law}}）は、[[力]]が[[相互作用]]によって生じるものであり、一方が受ける力と他方が受ける力は向きが反対で大きさが等しいと主張する[[経験法則|経験則]]である。'''作用・反作用の法則'''（さよう・はんさようのほうそく）とも呼ばれる。
2個の[[質点]] A と B があり、互いに力を及ぼしあっているとき、質点 A が質点 B から受ける力 <math>\vec{F}_{AB}</math> と質点 B が質点 A から受ける力 <math>\vec{F}_{BA}</math> を'''内力'''といい、内力の他の力を'''外力'''<ref>A が受けている場合は <math>\vec F_A</math>、B が受けている場合は <math>\vec{F}_B</math> と書くことが多い</ref>という。このとき、<math>\vec{F}_{AB}</math>（'''作用'''）と<math>\vec{F}_{BA}</math>（'''反作用'''）は、大きさが等しく向きが反対である
{{Indent|<math>\vec{F}_{AB}=-\vec{F}_{BA}</math>あるいは<math>\vec{F}_{AB}+\vec{F}_{BA}=0</math>}}
が成り立つ。
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この[[法則]]は、[[物体]]内部で働く力（内力）を打ち消して解析を行うときに本質的な役割を果たす。もっとも代表的な例では、大きな物体の[[剛体の力学#並進運動、回転運動|併進運動]]をその物体の重心にある質量が等しい質点の運動に置き換えて解析することが可能となる。
== 速度Vを含む「作用・反作用の法則」 ==
[[アイザック・ニュートン]]の『'''[[自然哲学の数学的諸原理]]'''』に以下の記述がある。<blockquote>Hisce volui tantum ostendere quam late pateat, quamq; certa sit Lex tertia motus.</blockquote><blockquote>Nam si aestimetur '''Agentis actio''' ex '''ejus vi et velocitate conjunctim;'''</blockquote><blockquote>et '''Resistentis reactio''' ex ejus partium singularum '''velocitatibus''' et '''viribus''' resistendi </blockquote><blockquote>ab earum attritione, cohaesione, pondere et acceleratione oriundis;</blockquote><blockquote>erunt '''actio et reactio''', in omni instrumentorum usu, sibi invicem '''semper aequales'''.</blockquote><blockquote>Et quatenus '''actio''' propagatur per instrumentum et ultimo imprimitur in corpus omne resistens,</blockquote><blockquote>ejus ultima '''determinatio determinationi reactionis semper erit contraria.'''</blockquote>[[アイザック・ニュートン]] 『'''[[自然哲学の数学的諸原理]]'''』ラテン語原文版 『''Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica』''「Axiomata, sive Leges Motus」24頁。P.24
<blockquote>I was only willing to show by those examples the great extent and certainty of the third Law of motion.</blockquote><blockquote>For if we estimate '''the action of the agent''' from '''its force and velocity conjunctly,'''</blockquote><blockquote>and likewise '''the reaction of the impediment conjunctly from the velocities''' of its several parts, </blockquote><blockquote>and from '''the forces of resistance''' arising from the attrition, cohesion, weight, and acceleration of those parts,</blockquote><blockquote>'''the action and reaction''' in the use of all sorts of machines will be found always '''equal to one another.'''</blockquote><blockquote>And so far as the action is propagated by the intervening instruments, </blockquote><blockquote>and at last impressed upon the resisting body, </blockquote><blockquote>'''the ultimate determination of the action''' will be always contrary to '''the determination of the reaction.'''</blockquote>[[アイザック・ニュートン]] 『'''[[自然哲学の数学的諸原理]]'''』英語翻訳版 『The Mathematical Principles of Natural Philosophy』「Axioms, or Laws of Motion」24頁。P.24
<blockquote>私はただこれらの実例によって</blockquote><blockquote>運動の法則Ⅲがいかに広い範囲にわたり</blockquote><blockquote>いかに確実なものであるかということを</blockquote><blockquote>示そうと思ったに過ぎません。</blockquote><blockquote>と申しますのは、</blockquote><blockquote>作動部分の'''作用'''を'''それに働く力と速度の積'''から見積もり、</blockquote><blockquote>また同様に抵抗部分の'''反作用'''を</blockquote><blockquote>それの個々の部分の'''速度'''と</blockquote><blockquote>それらの摩擦、凝集、重量、加速度から</blockquote><blockquote>生ぜられる'''抵抗力との積'''から見積もりますと、</blockquote><blockquote>あらゆる機械仕掛けを使用するさいの'''作用'''と'''反作用'''は</blockquote><blockquote>いつも'''互いに相等しい'''であろうからです。</blockquote><blockquote>また'''作用'''が装置を介して伝えられ、</blockquote><blockquote>最後にはあらゆる'''抵抗物体'''に及ぼされる限り、</blockquote><blockquote>結局の'''作用'''の方向は常にその'''反作用'''の'''方向'''と'''反対'''であろうからです。</blockquote>[[アイザック・ニュートン]] 『'''[[自然哲学の数学的諸原理]]'''』日本語語翻訳版 「公理、または運動の法則 注解」24頁。P.24
「作動部分の'''作用'''を'''それに働く力と速度の積'''から見積もり、」から
「[[作用]]は[[力]]と[[速度]]の積」である。[[力]]は一般的にFで表現され、[[速度]]は一般的にvで表現される。[[力]]と[[速度]]が[[ベクトル]]であることから、[[積]]が[[ベクトル]]の[[外積]]であることが分かる。
「抵抗部分の'''反作用'''をそれの個々の部分の'''速度'''とそれらの摩擦、凝集、重量、加速度から生ぜられる'''抵抗力との積'''から見積もりますと、」から「[[反作用]]は[[速度]]と[[力]]の積」であることがわかる。[[速度]]と[[積]]が[[ベクトル]]であることから、[[積]]が[[ベクトル]]の[[外積]]であることが分かる。
「あらゆる機械仕掛けを使用するさいの'''作用'''と'''反作用'''はいつも'''互いに相等しい'''であろうからです。」から
「[[作用]]と[[反作用]]が等しい」ことが分かる。等しいことは一般的に等号で表現される。
「結局の'''作用'''の方向は常にその'''反作用'''の'''方向'''と'''反対'''であろうからです。」から
「[[作用]]の[[方向]]と[[反作用]]の[[方向]]が逆である」ことが分かる。逆であることは一般的にマイナスの記号で表現される。
・「[[作用]]は[[力]]と[[速度]]の積」であること。
・「[[反作用]]は[[速度]]と[[力]]の積」であること。
・「[[作用]]と[[反作用]]が等しい」こと。
・「[[作用]]の[[方向]]と[[反作用]]の[[方向]]が逆である」こと。
以上の四つのことから、以下の公式を導き出した。
{{Indent|<math>\vec{F}_{AB}\vec{v}_{AB}=-\vec{F}_{BA}\vec{v}_{BA}</math>}}
ちなみに
https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product
によると、
[[外積]]が発案されたのは1773年のことでニュートンの死後50年が経過している。
https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_vector
によれば、[[ベクトル]]という概念が整理され始めたのもその頃である。
つまり[[外積]]や[[ベクトル]]の概念はニュートンの時代には存在しないことが歴史的な事実である。
だが現代の[[ニュートン力学]]の[[運動方程式]]や[[運動の法則]]において
[[外積]]や[[ベクトル]]の概念が使用されていることもまた歴史的な事実である。
現代の[[ニュートン力学]]の[[運動方程式]]や[[運動の法則]]における[[力]]や[[速度]]の定義と
[[自然哲学の数学的諸原理]]における[[運動方程式]]や[[運動の法則]]における[[力]]や[[速度]]の定義が
同一であるかどうかが問題となるが、
現代の[[ニュートン力学]]の[[運動方程式]]や[[運動の法則]]と
[[自然哲学の数学的諸原理]]における[[運動方程式]]や[[運動の法則]]は
細部の修正はあるけれども、基本的には同一視されていることもまた歴史的な事実であり、
また同一視しなければ
現代の[[ニュートン力学]]の[[運動方程式]]や[[運動の法則]]も
[[自然哲学の数学的諸原理]]における[[運動方程式]]や[[運動の法則]]も成立しない為、
現代の[[ニュートン力学]]の[[運動方程式]]や[[運動の法則]]における[[力]]や[[速度]]の定義と
[[自然哲学の数学的諸原理]]における[[運動方程式]]や[[運動の法則]]における[[力]]や[[速度]]の定義は同一である。
よって[[力]]や[[速度]]において[[外積]]や[[ベクトル]]の概念の使用は適切である。
== 脚注 ==
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