「直積 (ベクトル)」の版間の差分

[[線型代数学]]における'''直積'''（ちょくせき、{{lang-en-short|direct product}}<ref>{{MathWorld|urlname=TensorDirectProduct|title=Tensor Direct Product|author=Rowland, Todd and Weisstein, Eric W.}}</ref>）あるいは'''外積'''（がいせき、{{lang-en-short|''outer product''}}）は典型的には二つの[[ベクトル]]の[[テンソル積]]を言う。{{仮リンク|座標ベクトル|en|coordinate vector}}の外積をとった結果は[[行列]]になる。外積の名称は[[内積]]に対照するもので、内積はベクトルの対を[[スカラー]]にする。外積は、[[クロス積]]の意味で使われることもあるため、どちらの意味で使われているか注意が必要である。

 

\begin{pmatrix}u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}v_1 & v_2 & v_3\end{pmatrix} =

ふたつのベクトル {{math|'''u''', '''v'''}} の外積 {{nowrap|'''u''' ⊗ '''v'''}} は、{{math|'''u'''}} を {{math|''m'' × 1}} [[列ベクトル]]、{{math|'''v'''}} を {{math|''n'' × 1}} 列ベクトル（従って {{math|'''v'''^⊤}} は行ベクトル）としたときの行列の積 {{math|'''uv'''^⊤}} に等価である<ref>Linear Algebra (4th Edition), S. Lipcshutz, M. Lipson, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-154352-1</ref>。成分を用いて

 

 

と書けば、外積 {{math|'''u''' ⊗ '''v'''}} は {{math|''m'' × ''n''}} 行列 {{math|'''A'''}} で各成分は {{math|'''u'''}} の各成分と {{math|'''v'''}} の各成分の積であたえられ<ref>{{MathWorld|urlname=KroneckerProduct|title=Kronecker Product}}</ref><ref>Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, (VHC Inc.) 0-89573-752-3

</ref>、

 

\begin{pmatrix}u_1v_1 & u_1v_2 & \dots & u_1v_n \\ u_2v_1 & u_2v_2 & \dots & u_2v_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ u_mv_1 & u_mv_2 & \dots & u_mv_n \end{pmatrix}.</math>

 

 

[[複素数|複素]]ベクトルの場合には、これを少し変えて、{{math|'''v'''}} の転置の代わりに[[共軛転置]] {{math|'''v'''^&lowast;}} を用い、

とする。つまり得られる行列 {{math|'''A'''}} は {{math|'''u'''}} の各成分と {{math|'''v'''}} の各成分の複素共軛との積を成分とするものになる。

 

=== テンソルの外積 ===

テンソルに対する外積はふつう[[テンソル積]]と呼ばれる。[[テンソル]] {{math|'''a'''}} は階数 {{mvar|q}} で各次元 {{math|(''i''₁, …, ''i''_''q'')}}, {{math|'''b'''}} は階数 {{mvar|r}} で各次元が {{math|(''j''₁, …, ''j''_''r'')}} とすれば、これらの外積 {{math|'''c'''}} は階数 {{math|''q'' + ''r''}} で各次元 {{math|(''k''_'''1''', …, ''k''_''q''+''r'')}} は先に {{mvar|i}} の次元を並べた後に {{mvar|j}} の次元を並べたものになる。これを {{math|&otimes;}} を用いた座標に依存しない表記で書き、その成分を添字表記で書けば

となる<ref>Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3</ref>。高階テンソルの場合も同様で、例えば

などと書ける。