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| 原子 =
}}
'''電荷密度'''(でんかみつど、{{lang-en-short|charge density)density}})は、単位[[体積]]当たりの[[電荷]]の分布量(体積[[密度]])。電荷を担うものとしては[[電子]]や[[原子核]]、[[イオン]]のような粒子([[素粒子]]や[[正孔]]などを含む)であったり、仮想的に一様に分布する電荷のような場合(→参照:[[ジェリウムモデル]])もある。
 
金属や半導体では、電荷密度は0と近似できる。
 
実験的には[[X線回折]]実験による構造解析から得られた結果を最大エントロピー法などを使って実空間での電子の電荷分布(→電子密度に相当)が求まる。また[[中性子回折法|中性子回折]]実験の結果から同様な手法により原子核の密度が求まる。
金属や半導体では、電荷密度は0と近似できる。
 
実験的にはX線回折実験による構造解析から得られた結果を最大エントロピー法などを使って実空間での電子の電荷分布(→電子密度に相当)が求まる。また中性子回折実験の結果から同様な手法により原子核の密度が求まる。
 
==バンド計算での電荷密度==
[[バンド計算]]では通常、電荷密度とは電子の密度のことを示す。従って、この場合は'''電子密度'''(electron density)とも言う。電子以外の電荷(例えば[[イオン]]など)に対しても "電荷密度" の表記を用いることがあるので注意が必要。
 
[[バンド計算]]では、実空間での電荷密度 ''ρ''('''''r''''') は[[波動関数]] ''ψ''<SUB>''i'','''''k'''''</SUB>('''''r''''') のノルムを取ることにより求められる:
 
:<math>\rho (\mathbfboldsymbol{r}) = \sum_{{\rm i},\mathbfboldsymbol{k}} f_{{\rm i},\mathbfboldsymbol{k}}, |\psi_{{\rm i},\mathbfboldsymbol{k}} (\mathbfboldsymbol{r})|^2. </math>
 
''i'', '''''k''''' はそれぞれ[[バンド構造|バンド]]と[[ブリュアンゾーン#k点|k点]]の指標。''f''<SUB>''i'','''''k'''''</SUB> は、各 ''k'' 点上の各バンドでの電子の占有数。なお、バンド計算では普通[[原子単位]]を用いるので素電荷は、''e''<SUP>2</SUP> = 1([[ハートリー原子単位|ハートリー原子単位系]]の場合)としている。ここで占有数は、''N'' を系の全電子数とすると
 
:<math> \sum_{{\rm i},\mathbfboldsymbol{k}} f_{{\rm i},\mathbfboldsymbol{k}} = N </math>
 
となる。バンド計算において波動関数は規格化されており、占有数 ''f''<SUB>''i'','''''k'''''</SUB> は非整数となる場合がある。
 
実空間の電荷密度を[[フーリエ変換]]したものは、
 
:<math> \rho (\boldsymbol{G}) = \frac{1}{V} \int \rho (\boldsymbol{r}) e^{-i\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{r}} d\boldsymbol{r}
:<math> \rho (\mathbf{G}) =
{1 \over V} \int \rho
(\mathbf{r}) e^{-i\mathbf{G}\cdot\mathbf{r}}
d\mathbf{r}
</math>
 
(''i'' は[[虚数単位]])であり、上式左辺の ''ρ''('''''G''''') は構造因子と言われるが、このことを逆空間表示での電荷密度と言う場合もある。
 
==運動量密度==
実空間の波動関数をフーリエ変換して(指標 ''i'', '''''k''''' は省略、''V'':系の体積)、
 
:<math> \psi(\boldsymbol{G}) = \frac{1}{V} \int \psi(\boldsymbol{r}) e^{-i\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{r}} d\boldsymbol{r}
:<math> \psi(\mathbf{G}) =
{1 \over V} \int
\psi(\mathbf{r}) e^{-i\mathbf{G}\cdot\mathbf{r}}
d\mathbf{r}
</math>
 
を得る。''ψ''('''''G''''') は[[逆格子空間]]([[運動量空間]])での波動関数であり、これの[[ノルム]]をとると、
 
:<math> P(\mathbfboldsymbol{G}) = |\psi(\mathbfboldsymbol{G})|^2 </math>
 
となり、上式左辺の ''P''('''''G''''') は逆格子空間での電荷密度と言えるが、通常は'''運動量密度'''(momentum density)と呼ばれる。
 
運動量密度は、[[コンプトン散乱]]や電子‐[[陽電子]]消滅実験などの実験によって観測される量で、対象が[[金属]](含む[[半金属]])の場合、[[フェルミ面]]の情報を含んでいる。
 
[[自由電子]]の場合の運動量密度 ''ρ''('''P''') は、自由電子の[[実空間]]([[3次元]])での波動関数 ''ψ'' が[[平面波]] <math> e^{-i\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}</math>であるから、
:<math> e^{-i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}</math>
であるから、
 
:<math>\iint e^{-i\boldsymbol{G} \cdot (\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}')}
:<math> \int
e^{-i\mathbfboldsymbol{Gk} \cdot (\mathbfboldsymbol{r}-\mathbfboldsymbol{r}') } \cdot
d\boldsymbol{r}d\boldsymbol{r'}
e^{i\mathbf{k} \cdot (\mathbf{r}-\mathbf{r}') }
= \iint e^{-i(\boldsymbol{G}-\boldsymbol{k})\cdot(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}')} d\boldsymbol{r} d\boldsymbol{r}'
d\mathbf{r}d\mathbf{r'} =
:<math>= \delta (\mathbfboldsymbol{G}-\mathbfboldsymbol{k})
\int
= \rho_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{G})</math>
e^{-i(\mathbf{G}-\mathbf{k})\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}
d\mathbf{r}d\mathbf{r}'</math>
:<math>= \delta (\mathbf{G}-\mathbf{k})
= \rho_{\mathbf{k}}(\mathbf{G})
</math>
 
となり([[体積]]は省略)、
 
:<math> \rho(\mathbfboldsymbol{G}) =
= \sum_{\mathbfboldsymbol{k}} \rho_{\mathbfboldsymbol{k}} (\mathbfboldsymbol{G}) =
= \sum_{|\mathbfboldsymbol{k}| \le k_F} f_{\boldsymbol{k}} \rho_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{G})
f_{\mathbf{k}} \rho_{\mathbf{k}} (\mathbf{G})
</math>
 
を得る(''f''<SUB>'''''k'''''</SUB> は[[フェルミ分布関数]]←電荷密度での占有数と表記が類似するが異なるものである)。実際は、[[2次元]]ないし [[1次元]]表示したものが[[実験]]による観測結果と比較される。
 
;2次元表示
:<math> \rho(G_y,G_z)
= \int \rho (\mathbfboldsymbol{G}) dG_x
= \int_{G_x^2 \le G_F^2 - G_y^2 - G_z^2} dG_x
</math>
= 2 \sqrt{G_F^2 - G_y^2 - G_z^2}.
:<math>
= \int_{G_x^2 \le G_F^2 - G_y^2 - G_z^2} dG_x
= 2 \sqrt{G_F^2 - G_y^2 - G_z^2}.
</math>
 
;1次元表示
:<math> \rho(G_z)
= \iint \rho (\mathbfboldsymbol{G}) d G_x dG_y
= \iint_{G_x^2 + G_y^2 + G_z^2 \le G_F^2} dG_x dG_y
</math>
= G_F^2 - G_z^2.
:<math>
= \iint_{G_x^2 + G_y^2 + G_z^2 \le G_F^2} dG_x dG_y
= G_F^2 - G_z^2.
</math>