「計量テンソル」の版間の差分

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'''計量テンソル'''(けいりょうテンソル、{{lang-en-short|metric tensor)tensor}})は、[[リーマン幾何学]]において、空間内の[[距離]]と[[角度]]を定義する、[[階数]](rank)({{en|rank}})が2の[[テンソル]]である。[[多様体]]が与えられたとき、多様体の接空間で、滑らかに変化する非負の2次関数を選ぶことができる場合、その多様体を[[リーマン多様体]]と呼ぶ。そのため、計量テンソルは、'''リーマン計量'''(Riemannian({{en|Riemannian metric)metric}})と呼ばれることもある。
 
ひとたび、ある座標系 {{math|''x''<sup>''i''</sup>}} が選ばれると、計量テンソルは[[行列]]形式で定義される。通常、{{math|''G''}} として表記され、各成分は {{math| ''g''<sub>''ij''</sub>}} と表される。以下では、添え字の和に関して[[アインシュタインの縮約記法]]を用いる。
点{{math|''a''}} から {{math|''b''}} までの曲線の長さは、{{math|''t''}} をパラメータとして、
:<math>L = \int_a^b \sqrt{ g_{ij}{dx^i\over dt}{dx^j\over dt}}dt \ </math>
と定義される。2つの接ベクトル(tangent({{en|tangent vector)vector}})<math>U=u^i{\partial\over \partial x^i} \ </math> と <math>V=v^i{\partial\over \partial x^i} \ </math> のなす角度 {{math|&theta;}} は、
:<math>
\cos \theta = \frac{g_{ij}u^iv^j}
座標系を替えたユークリッド計量の例をいくつか示す。
 
;[[極座標]](Polar({{en|Polar coordinates)coordinates}}): <math>(x^1, x^2)=(r, \theta) \ </math>
:<math>g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (x^1)^2\end{bmatrix},\quad ds^2_{}=(dr)^2 + r^2(d\theta)^2 </math>
;[[円筒座標]](Cylindrical({{en|Cylindrical coordinates)coordinates}}): <math>(x^1, x^2, x^3)=(r, \theta, z) \ </math>
:<math>g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (x^1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix},\quad ds^2_{}=(dr)^2 + r^2(d\theta)^2 + (dz)^2 </math>
;[[球座標]](Spherical({{en|Spherical coordinates)coordinates}}): <math>(x^1, x^2, x^3)=(r, \theta, \phi) \ </math>
:<math>g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (x^1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & (x^1\sin x^2)^2\end{bmatrix},\quad ds^2_{}=(dr)^2 + r^2(d\theta)^2 + r^2\sin^2\theta (d\phi)^2 </math>
;平らな [[ミンコフスキー空間]](flat({{en|flat Minkowski space)space}}): <math>(x^0, x^1, x^2, x^3)=(t, x, y, z) \ </math>
:<math>g = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix},\quad ds^2_{}=-(dt)^2 +(dx)^2 +(dy)^2+(dz)^2</math>
 
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