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「最小作用の原理」の版間の差分

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Matryosika (会話 | 投稿記録)
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モーペルテュイの最小作用の原理とも言う。[[1747年]]、フランスの数学者[[ピエール・ルイ・モーペルテュイ|モーペルテュイ]](P. L. M. Maupertuis)によって考え出された。一個の質点からなる系において、その質点が運動する経路を <math>l</math> とすると、
 
:<math> \delta \int 2K \,dt = \delta \int mv^2 \,dt = \delta \int mv \frac{dl \over }{dt}} \,dt = \delta \int mv \,dl = 0 </math>
 
が成り立つ。この時、<math>K</math>は[[運動エネルギー]]、<math>dl</math>は質点の運動する経路の微小片の長さ、<math>dl/dt = v</math>は質点の速度、<math>m</math>は質点の質量である。つまり、質点の運動は、[[運動量]]<math>mv</math>と経路の微小片<math>dl</math>の積の積分に関する停留値問題に帰着する。これが、'''モーペルテュイの原理'''である。
17行目:
から、
 
:<math> \delta \int \sqrt{2m (E - V)} \,dl = 0 </math>
 
と換言することができる。
23行目:
この原理は、[[フェルマーの原理]]、
 
:<math> \delta \int n (x, y, z) \,dl = 0 </math>
 
と対比される。ここで、<math>n</math>は[[屈折率]]、<math>l</math> は光の通る経路である。
29行目:
同様に[[ラグランジアン]]における停留値問題、
 
:<math> \delta \int_{t_1}^{t_2} L \,dt = \delta \int_{t_1}^{t_2} (K - V) \,dt = 0 </math>
 
の式で表される原理を'''ハミルトンの原理'''（ハミルトンの最小作用の原理）と言う。
36行目:
ラグランジアンの積分
 
:<math>I[q(t)] = \int_{t_1}^{t_2} L(q(t) , \dot {q}(t) , t) \,dt </math>
 
を'''作用積分'''またはハミルトンの積分と言う。前節のハミルトンの原理は作用積分を用いて
46行目:
ラグランジアンの変分は[[正準運動量]] p<sub>i</sub>を用いて
 
:<math> \begin{align}
:<math> \delta L &= \frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta \dot{q}_i </math>\\
 
::<math> &= \dot{p}_i \delta q_i +p_i \delta \dot{q}_i </math>\\
&= \frac{d}{dt} ( p_i \delta q_i )
 
::<math> = \fracend{dalign}{dt} ( p_i \delta q_i ) </math>
 
と表されるから
 
:<math> \delta I = \int \delta L \,dt = p_i \delta q_i </math>
 
:<math> \frac{\delta I}{\delta q_i} = p_i </math>
 
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古典力学においては、時刻<math>t_a</math>に配位空間の座標<math>q_a</math>から出発し、時刻<math>t_b</math>に座標<math>q_b</math>に到達する粒子の軌道は、最小作用の原理によって、作用積分
 
:<math> S[q(t)]= \int_{t_a}^{t_b} L(q(t), \dot{q}(t))\,dt</math>
 
に対する停留条件
104 ⟶ 103行目:
 
==参考文献==
*　Wolfgang Yourgrau, Stanley Mandelsta, ''Variational Principles in Dynamics and Quantum Theory'', Dover Publications (2011) ISBN 978-0486637730
 
==関連記事==
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