「ベクトル場」の版間の差分

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=\frac{\partial X_1}{\partial x}
+\frac{\partial X_2}{\partial y}
+\frac{\partial X_3}{\partial z}. </math>}}
や[[回転 (ベクトル解析)|回転]]
{{Indent|<math>\operatorname{rot}\,\boldsymbol{X}= \nabla \times X = \begin{bmatrix}
46行目:
== 流れ ==
多様体 ''M'' 上のベクトル場 ''X'' があたえられたとき、各点での速度が ''X'' によって表されるような ''M'' 上の'''流れ''' (flow) を考えることができる。通常は技術的な仮定として、''X'' が[[コンパクト (数学)|コンパクト]]な台を持つことが要請される。そのとき ''M'' の任意の任意の点 ''p'' について初期値付きの[[微分方程式]]
{{Indent|<math>\frac{d \phi_t(p)}{dt}(q) = X_q,\quad \phi_0(p) = p</math>}}
は一意に定まる解を持ち、任意の ''t'' について写像 &phi;<sub>''t''</sub>: ''p'' &rarr; &phi;<sub>''t''</sub>(''p'') は ''M'' 上の微分同相を定めている。[[実数]]の加法[[群 (数学)|群]] '''R''' から ''M'' の[[微分同相]]群 Diff(''M'') への写像 &phi;: ''t'' &rarr; &phi;<sub>''t''</sub>は群の準同型になり、''X'' の流れとよばれる。この流れ &phi; は ''X'' によって速度を指定された ''M'' 上の[[力学系]]を表している。