「中身の詰まったトーラス」の版間の差分

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(en:Solid torus 02:15, 30 December 2016)
 
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[[Image:Torus illustration.png|thumb|ソリッド・トーラス]]
[[位相初等幾何学]]における'''中身の詰まったトーラス'''(なかみのつまったトーラス、{{lang-en-short|''solid torus''}}; '''ソリッドトーラス'''、'''トーラス体''')は、一つの[[円周]]に沿って[[円板]]が掃く領域として定まる[[位相空間回転体]]を言う<ref>{{citation|title=Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications|first=Kenneth|last=Falconer|edition=2nd|publisher=John Wiley & Sons|year=2004|isbn=9780470871355|url= {{google books|id=JXnGzv7X6wcC|plainurl=1}}}}.</ref>{{rp|{{google books quote|id=JXnGzv7X6wcC|pg=PA198|198}}}}であるそれは、[[円板位相幾何学|位相的]] {{math|''D''{{sup|2}}}} とには、一つの[[円周ハンドル体]] {{math|''S''{{sup|1}}}} とみを持つ(すなわち[[直積集合種数]] {{math|''S''{{sup|1}} × ''D''{{sup|2}}}} に[[直積位相]]を入れたもに同相)コンパクト図形である<ref>{{citation|title=An Introduction to Morse Theory|volume=208|series=Translations of mathematical monographs|first=Yukio|last=Matsumoto|publisher=American Mathematical Society|year=2002|isbn= 9780821810224|url={{google books|id=TtKyqozvgIwC|plainurl=1}}}}.</ref>{{rp|{{google books quote|id=TtKyqozvgIwC|pg=PA188|188}}}}
 
中身の詰まったトーラスを図示するには[[三次元空間]]に埋め込まれた{{ill2|トーラス形|es|Toroide}}(トロイド)として描くのが標準的な方法であるが、図示の仕方によっては互いに区別すべき[[トーラス]]と同様の見た目になることがある。トーラスとはトーラス形の表面(境界面)を成す二次元の図形のことであり、トーラスに囲まれる有界領域はソリッドトーラスの一種となる。
 
== 回転体としてのトーラス ==
== 位相的性質 ==
値 {{math|''r'' < ''R''}} を任意にとり固定して考えるとき、'''ソリッド・トーラス'''は半径 {{mvar|R}} の[[円周]]からの距離 {{math|''a'' ≤ ''r''}} なる点全体の成す集合である。したがってそれは、半径 {{mvar|r}} の円板を、その円と交わらずその円の属する平面上に載っている軸の周りに、回転半径 {{mvar|R}} がもとの円板の半径より大きくなるように、回転させて得られる<ref>{{citation|title=Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications|first=Kenneth|last=Falconer|edition=2nd|publisher=John Wiley & Sons|year=2004|isbn=9780470871355|url= {{google books|id=JXnGzv7X6wcC|plainurl=1}}}}.</ref>{{rp|{{google books quote|id=JXnGzv7X6wcC|text=solid torus|pg=PA198|198}}}}。
 
=== 媒介表示 ===
トーラスの媒介変数表示を以下のように与えることができる: <math siaplsy="block">\vec X(t,p) = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = R \cdot \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \\ 0 \end{pmatrix} + a \cdot \begin{pmatrix} \cos(t) \cdot \cos(p) \\ \sin(t) \cdot \cos(p) \\ \sin(p) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (R + a \cdot \cos(p)) \cos(t) \\ (R + a \cdot \cos(p)) \sin(t) \\ a \cdot \sin(p) \end{pmatrix}\quad(0\le a\le r, 0\le t,p\le 2\pi).</math>
 
=== 体積 ===
ソリッドトーラスの体積は、[[函数行列式]]([[ヤコビ行列]]の[[行列式]])上の三重積分として計算できる。先の媒介表示に関するヤコビ行列は以下のように陽に書ける: <math display="block">
J_f = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(a, t, p)} =
\begin{pmatrix}
\partial_a x & \partial_p x & \partial_t x \\
\partial_a y & \partial_p y & \partial_t y \\
\partial_a z & \partial_p z & \partial_t z \\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\cos(t) \cos(p) & - R \sin(t) - a \sin(t) \cos(p) & a \cos(t) \sin(p) \\
\sin(t) \cos(p) & R \cos(t) + a \cos(t) \cos(p) & a \sin(t) \sin(p)\\
\sin(p) & 0 & - a \cos(p)
\end{pmatrix},
</math> ゆえにその行列式は <math display="inline">\det (J_f) = a\cdot(a\cos(p) + R)</math> であり、この行列式の値は法ベクトルのノルムに等しい。すなわち、ソリッドトーラスの体積は <math display="block">
V = \int_{V} dV = \int_{\Gamma} \det(J_f) d\Gamma
= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{r} (Ra+a^2\cos(p))\mathit{da}\,\mathit{dp}\,\mathit{dt}
= 2\pi^2 r^2 R
</math> と計算される。
; 命題: ソリッドトーラスの体積は <math display="inline">V=2\pi^2r^2R</math> で与えられる。
 
この公式を、円板の面積 <math display="inline">A_r = \pi r^2</math> と中心軌跡(円周の長さ)<math display="inline">U_R = 2\pi R</math> を掛けたものと解釈することができる。これは[[円柱 (数学)|円柱]]体の体積が <math>V_\text{cylinder} = \pi r^2 l</math> であるのと同様である。表面積の計算も同様にできて、ここでは二つの円周 <math display="inline">U_r = 2\pi r</math> と <math display="inline">U_R = 2\pi R</math> の積に等しい。これもやはり円柱の側面積が <math display="inline">O_\text{cylinder} = 2\pi r l</math> であることに対応する。
 
== 位相的性質トーラス体 ==
[[位相幾何学]]における'''ソリッドトーラス'''は、[[円板]] {{math|''D''{{sup|2}}}} と[[円周]] {{math|''S''{{sup|1}}}} との[[直積集合]] {{math|''S''{{sup|1}} × ''D''{{sup|2}}}} に[[直積位相]]を入れたものに同相であるな[[位相空間]]を言う<ref>{{citation|title=An Introduction to Morse Theory|volume=208|series=Translations of mathematical monographs|first=Yukio|last=Matsumoto|publisher=American Mathematical Society|year=2002|isbn= 9780821810224|url={{google books|id=TtKyqozvgIwC|plainurl=1}}}}.</ref>{{rp|{{google books quote|id=TtKyqozvgIwC|pg=PA188|188}}}}。
 
ソリッドトーラスは[[連結空間|連結]][[コンパクト空間|コンパクト]]かつ[[向き付け可能]]な三次元の[[境界付き多様体]]で、その境界は通常の[[トーラス]] {{math|''S''{{sup|1}} × ''S''{{sup|1}}}} に同相である。
 
 
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