「ホモロジカルミラー対称性予想」の版間の差分

→‎ホッジダイアモンド: en:Homological mirror symmetry 2017年8月29日 (火) 09:12(UTC)より
m
(→‎ホッジダイアモンド: en:Homological mirror symmetry 2017年8月29日 (火) 09:12(UTC)より)
 
(p,q)-[[調和微分形式]]の空間の次元 h<sup>p,q</sup> (同じことであるが、コホモロジー、つまり、完全形式を modulo とする閉形式)は、'''ホッジダイアモンド'''と呼ばれるダイアモンドの形に並べることができる。たとえば、3-次元多様体に対しては、ホッジダイアモンドは 0 から 3 までの範囲の p × q のダイアモンドの形にすることができ、
<!--The dimensions ''h''<sup>''p'',''q''</sup> of spaces of harmonic (''p'',''q'')-differential forms (equivalently, the cohomology, i.e., closed forms modulo exact forms) are conventionally arranged in a diamond shape called the ''Hodge Diamond''. For a three-dimensional manifold, for example, the Hodge diamond has ''p'' and ''q'' ranging from 0 to 3:-->
{{Hodge diamond
 
|''h''<sup>3,3</sup>
|''h''<sup>3,2</sup> |''h''<sup>2,3</sup>
|''h''<sup>3,1</sup> |''h''<sup>2,2</sup> |''h''<sup>1,3</sup>
|''h''<sup>3,0</sup> |''h''<sup>2,1</sup> |''h''<sup>1,2</sup> |''h''<sup>0,3</sup>
|''h''<sup>2,0</sup> |''h''<sup>1,1</sup> |''h''<sup>0,2</sup>
|''h''<sup>1,0</sup> |''h''<sup>0,1</sup>
|''h''<sup>0,0</sup>
}}
 
となる。ミラー対称性では、元の多様体上の (p,q)-微分形式の空間の次元 h<sup>p,q</sup> とすると、ミラー対称である相手の多様体上の (p,q)-微分形式の空間の次元は h<sup>n-p,q</sup> となる.すなわち、全てのカラビ・ヤウ多様体に対して、ホッジダイアモンドは π の回転しても変わらなく、ミラー対称であるカラビ・ヤウ多様体のホッジダイアモンドは π/2 の回転で入れ替わる。
<!---Namely, for any Calabi-Yau manifold the Hodge diamond is unchanged by a rotation by π radian and the Hodge diamonds of mirror Calabi-Yau manifolds are related by a rotation by π/2 radian.-->
 
1-次元カラビ・ヤウ多様体と見なすことのできる[[楕円曲線]]の場合には、ホッジダイアモンドは非常に簡単で、次のようになる。
{{Hodge diamond
 
|1
1
|1|1
1 1
|1
1
}}
 
[[K3曲面]]の場合には、2-次元のカラビ・ヤウ多様体と見なすことができるが、[[ベッチ数]]が、{1, 0, 22, 0, 1}であるから、K3曲面のホッジダイアモンドは次の図のようになる。
{{Hodge diamond
 
|1
1
|0|0
0 0
|1|20|1
1 20 1
|0|0
0 0
|1
1
}}
 
ところで、3-次元の場合(この場合を通常は[[カラビ・ヤウ多様体]]と呼ぶ)には、面白いことが起きる。ホッジダイアモンドが対角線(斜め線)を中心線として対称なホッジ数を持つペア M と W が存在することがある。
 
M のダイアモンド:
{{Hodge diamond
1
|1
0 0
|0 | 0
0 a 0
|0 | a | 0
1 b b 1
|1 | b | b | 1
0 a 0
|0 | a | 0
|0 | 0
1
|1
}}
 
W のダイアモンド:
{{Hodge diamond
1
|1
0 0
|0 | 0
0 b 0
|0 | b | 0
1 a a 1
|1 | a | a | 1
0 b 0
|0 | b | 0
|0 | 0
1
|1
 
}}
この場合には、M と W は[[弦理論]]のA-モデルとB-モデルに対応する。なお、ミラー対称性は、ホモロジカルな次元を入れ替えるだけでなく、ミラーペアの上の[[シンプレクティック多様体|シンプレクティック構造]]と[[複素多様体|複素構造]]を入れ替える。
 
1990-1991年に、{{harvs||txt| last1=Candelas | first1=Philip | last2=de la Ossa | first2=Xenia C. | last3=Green | first3=Paul S. | last4=Parkes | first4=Linda | year=1991}} は、数え上げ代数幾何学のみならず、数学全体へ大きな影響をもち、{{harvtxt|Kontsevich|1994}}への動機ともなった。この論文の中の[[クインティックスリーフォールド]]のホッジダイアモンドは、次の 2つのホッジダイアモンドとなる。
{{col-begin}}
 
{{col-2}}
1 1
{{Hodge diamond
0 0 0 0
|1
0 1 0 0 101 0
|0 | 0
1 101 101 1 1 1 1 1
|0 | 1 | 0
0 1 0 0 101 0
|1 | 101 | 101 | 1
0 0 0 0
|0 | 1 | 0
1 1
|0 | 0
|1
}}
{{col-2}}
{{Hodge diamond
|1
|0 | 0
|0 | 101 | 0
|1 | 1 | 1 | 1
|0 | 101 | 0
|0 | 0
|1
}}
{{col-end}}
<!---In 1990-1991, {{harvs||txt| last1=Candelas | first1=Philip | last2=de la Ossa | first2=Xenia C. | last3=Green | first3=Paul S. | last4=Parkes | first4=Linda | year=1991}} had a major impact not only on enumetive algebraic geometry but on the whole mathematics and motivated to {{harvtxt|Kontsevich|1994}}. The quintic threefold in this paper has the following Hodge diamond.-->