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18行目: == 定義 == すべての {{mvar\|G}} 加群からなるクラスは[[圏 (数学)\|圏]]である。（その射は群準同型 {{math\|''f'' : ''M'' → ''N''}} であって、すべての {{math\|''g'' ∈ ''G''}} と {{math\|''x'' ∈ ''M''}} に対して {{math\|''f''(''gx'') {{=}} ''g''(''f''(''x''))}} を満たすものである。）各 {{mvar\|G}} 加群 {{mvar\|M}} に {{mvar\|M<sup>G</sup>}} を対応させることで {{mvar\|G}} 加群の圏から[[アーベル群の圏]] {{math\|'''Ab'''}} への[[関手]]が得られる。この関手は[[左完全関手\|左完全]]であるが右完全とは限らない。したがって右[[導来関手]]をとることができる<ref>これは {{mvar\|G}} 加群の圏が[[群環]] {{math\|'''Z'''[''G'']}} 上の加群圏と同値なので[[十分多くの入射対象]]をもつことを使っている。</ref>。その値は[[アーベル群]]であり、{{math\|''H''<sup>''n''</sup>(''G'', ''M'')}} と表され、'''{{mvar\|M}} に係数をもつ群の {{mvar\|n}} 次コホモロジー群'''と呼ばれる。 === 双対鎖複体 === 152行目: となる。 === {{math\|''H''<sup>~~ ~~2</sup>}} ===▼ <!--▼ {{mvar\|M}} が自明な {{mvar\|G}} 加群ならば、2次コホモロジー群 {{math\|''H''<sup>2</sup>(''G'', ''M'')}} は {{mvar\|G}} の {{mvar\|M}} による[[中心拡大]]の集合と（自然な同値関係を除いて）一対一対応する。より一般に、{{mvar\|G}} の {{mvar\|M}} への作用が非自明ならば {{math\|''H''<sup>2</sup>(''G'', ''M'')}} は {{mvar\|G}} の {{mvar\|M}} による[[群の拡大\|拡大]] {{math\|0 → ''M'' → ''E'' → ''G'' → 0}} すべての同型類を分類する。ここで {{mvar\|G}} の {{mvar\|E}} への（[[内部自己同型]]による）作用は {{mvar\|M}}（の像）の {{mvar\|G}} 構造から与えられる。 ▲===''H''<sup> 2</sup>=== If ''M'' is a trivial ''G''-module (i.e. the action of ''G'' on ''M'' is trivial), the second cohomology group ''H''<sup>2</sup>(''G'',''M'') is in one-to-one correspondence with the set of [[Group extension#Central extension\|central extension]]s of ''G'' by ''M'' (up to a natural equivalence relation). More generally, if the action of ''G'' on ''M'' is nontrivial, ''H''<sup>2</sup>(''G'',''M'') classifies the isomorphism classes of all [[Group extension\|extension]]s <math>0 \to M \to E \to G \to 0</math> of ''G'' by ''M,'' in which the action of ''G'' on ''E'' (by [[inner automorphism]]s), endows (the image of) ''M'' with isomorphic ''G''-module structure. 上の例において、{{math\|'''Z'''/2}} の {{math\|'''Z'''<sub>−</sub>}} による拡大は無限[[二面体群]]に限るので {{math\|''H''<sup>2</sup>('''Z'''/2, '''Z'''<sub>−</sub>) {{=}} 0}} である。 ~~In the example as above, <math>H^2(\Z/2, \Z_-) =0,</math> as the only extension of <math>\Z/2</math> by <math>\Z</math> with the given nontrivial action is the [[infinite dihedral group]].~~ An example of a second group cohomology group is the [[Brauer group]]: it is the cohomology of the absolute [[Galois group]] of a field ''k'' which acts on the invertible elements in a separable closure: :<math>H^2\left(\mathrm{Gal}(k), (k^\mathrm{sep})^\times\right).</math>▼ [[ブラウアー群]]は2次コホモロジー群の例である：それは体 {{mvar\|k}} の絶対[[ガロア群]]の[[分離閉包]]における可逆元への作用に関するコホモロジー ▲:<math>H^2\left(\~~mathrm~~operatorname{Gal}(k^\mathrm{sep}/k), (k^\mathrm{sep})^\times\right).</math> である。 ▲<!-- ==Properties==

「群のコホモロジー」の版間の差分