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「群のコホモロジー」の版間の差分

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H^2
コホモロジーの長完全列
21行目:
 
=== 双対鎖複体 ===
[[導来関手]]を使った定義は概念的には極めて明快であるが、実際に利用するには一部の著者が定義としている、次の計算法が役に立つことが多い<ref>{{harvtxt|Milne|20072008|p=62}} あるいは {{harvtxt|Serre|1979|loc=Section VII.3}} 参照。</ref>。{{math|''n'' &ge; 0}} に対して {{math|''C''<sup>''n''</sup>(''G'', ''M'')}} を {{mvar|G<sup>n</sup>}} から {{mvar|M}} への関数全体からなる群とする。これは[[アーベル群]]であり、その元を（非斉次）{{mvar|n}} 次の双対鎖という。双対境界作用素を
:<math> d^{n+1} \colon C^n(G, M) \to C^{n+1}(G, M),\ \varphi \mapsto d^{n+1}\varphi; </math>
:<math> d^{n+1}\varphi(g_1, \dotsc, g_{n+1}) = g_1\varphi(g_2, \dotsc, g_{n+1}) + \sum_{i=1}^n (-1)^{i} \varphi(g_1,\dotsc, g_{i-1}, g_i g_{i+1}, g_{i+2}, \dotsc, g_{n+1}) + (-1)^{n+1} \varphi(g_1,\dotsc, g_n) </math>
160行目:
:<math>H^2\left(\operatorname{Gal}(k^\mathrm{sep}/k), (k^\mathrm{sep})^\times\right)</math>
である。
<!--▼
==Properties==
 
== 性質 ==
In the following, let ''M'' be a ''G''-module.
以下では {{mvar|M}} は {{mvar|G}} 加群とする。
 
===Long exact sequence of cohomology===
In practice, one often computes the cohomology groups using the following fact: if
 
=== コホモロジーの長完全列 ===
実際には次の事実を使ってコホモロジー群を計算することがしばしばある。つまり {{mvar|G}} 加群の[[短完全列]]
:<math> 0 \to L \to M \to N \to 0 </math>
は長完全列
 
:<math>
is a [[short exact sequence]] of ''G''-modules, then a long exact sequence is induced:
0 \to L^G \to M^G \to N^G \overset{\delta^0}{\to}
 
:<math>0\longrightarrow L^G \longrightarrow M^G \longrightarrow N^G \overset{\delta^0}{\longrightarrow} H^1(G,L) \longrightarrowto H^1(G,M) \longrightarrowto H^1(G,N) \overset{\delta^1}{\longrightarrowto} H^2(G,L)\longrightarrow \cdots</math>
H^2(G,L) \to \dotsb
 
</math>
The so-called [[connecting homomorphism]]s,
を誘導する。いわゆる[[連結準同型]]
 
:<math> \delta^n :\colon H^n (G, N) \to H^{n+1}(G, L) </math>
は非斉次双対鎖のことばで次のように記述できる<ref>{{harvtxt|Milne|2008|loc=Remark II.1.21}} 参照。</ref>。もし {{mvar|c}} が {{math|''H''<sup>''n''</sup>(''G'', ''N'')}} の {{mvar|n}} 次の双対鎖 {{math|&phi; : ''G''<sup>''n''</sup> &rarr; ''N''}} に代表される元ならば、{{math|&delta;<sup>''n''</sup>(''c'')}} は {{math|''d''<sup>''n''</sup>(&psi;)}} に代表される。ここで {{math|&psi;}} は {{math|&phi;}} を「持ち上げて」（つまり {{math|&phi;}} が {{math|&psi;}} と全射 {{math|''M'' &rarr; ''N''}} の合成となるようにして）得られる {{mvar|n}} 次の双対鎖 {{math|''G''<sup>''n''</sup> &rarr; ''M''}} である。
 
▲<!--
can be described in terms of inhomogeneous cochains as follows.<ref>Remark II.1.21 of [[#Reference-Mil2008|Milne 2008]]</ref> If ''c'' is an element of ''H''<sup>n</sup>(''G'', ''N'') represented by an ''n''-cocycle φ : ''G''<sup>n</sup> → ''N'', then δ<sup>n</sup>(''c'') is represented by ''d''<sup>n</sup>(ψ), where ψ is an ''n''-cochain ''G''<sup>n</sup> → ''M'' "lifting" φ (i.e. such that φ is the composition of ψ with the surjective map ''M'' → ''N'').
 
===Functoriality===
Group cohomology depends contravariantly on the group ''G'', in the following sense: if ''f'' : ''H'' → ''G'' is a [[group homomorphism]], then we have a naturally induced morphism ''H<sup>n</sup>''(''G'',''M'') → ''H<sup>n</sup>''(''H'',''M'') (where in the latter, ''M'' is treated as an ''H''-module via ''f''). This map is called the ''restriction map''. If the [[index (group theory)|index]] of ''H'' in ''G'' is finite, there is also a map in the opposite direction, called ''transfer map'',<ref>{{harv|Brown|1972}}, §III.9</ref>
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-->
== 注釈 ==
{{reflist|2}}
 
== 参考文献 ==
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*{{Citation |last1= Knudson |first1= Kevin P.|title= Homology of Linear Groups |publisher= [[Birkhäuser Verlag]] |year= 2001|series=Progress in Mathematics|volume=193|zbl=0997.20045}}
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* {{Citation | last1=Milne | first1=James | year=20072008 | title=Class Field Theory | date=5/2/2008 | volume=v4.00 | url=http://www.jmilne.org/math| accessdate=8/9/2008 | chapter=Chapter II: The cohomology of groups }}
<!--
* {{Citation | last1=Rotman | first1=Joseph | year=1995 | title=An Introduction to the Theory of Groups | edition=4th | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | volume=148 | publisher=[[Springer-Verlag]] | isbn=978-0-387-94285-8 | mr = 1307623 }}
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