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[[数学]]において、'''指数積分'''(（{{lang-en-short|exponential integral}})）{{math|Ei}} は[[指数関数]]を含む[[積分]]によって定義される[[関数 (数学)|関数]]である。
:<math>\mathrmoperatorname{Ei}(x)=-{\int_{-x}^{\infty}}\frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm dtoperatorname{d}\!t={\int_{-\infty}^{x}}\frac{e^{t}}{t}\,\mathrm dtoperatorname{d}\!t</math>
である。この被積分関数は原点 {{math|''t'' {{=}} 0}} で[[極限|発散]]するが、実関数としての指数積分は[[コーシーの主値]]を用いる。
:<math>\begin{align}
&\mathrmoperatorname{Ei}(x)=\lim_{\epsilon\to+0}\left(-\int_{-x}^{-\epsilon}\frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm dtoperatorname{d}\!t-\int_{\epsilon}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm dtoperatorname{d}\!t\right)\qquad(x>0)\\
&\mathrmoperatorname{Ei}(x)=-\int_{-x}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm dtoperatorname{d}\!t\qquad(x<0)\\
\end{align}</math>
複素関数としての指数積分は、正の実軸から[[解析接続]]する値を用いる場合<ref>[http://mathworld.wolfram.com/ExponentialIntegral.html Wolfram Mathworld: Exponential Integral]</ref>と負の実軸から解析接続する値を用いる場合<ref>[http://eom.springer.de/I/i051440.htm SpringerLink: Integral exponential function]</ref>とがあるが、本稿においては正の実軸から解析接続する値を用いる。この場合、複素積分としては
:<math>\mathrmoperatorname{Ei}(z)=-\int_{-z}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm dtoperatorname{d}\!t\pm\pi{i}</math>
となる。複素関数としての指数積分は多価であるが、
:<math>\mathrmoperatorname{Ei}(z)=\gamma+\log{z}-\int_{0}^{-z}\frac{1-e^{-t}}{t}\,\mathrm dtoperatorname{d}\!t</math>
とすれば、多価性にまつわる問題が全て <{{math>\|log{ ''z''}}\quad</math> に封じられる。これとは別に
:<math>E_n(z)=\int_{1}^{\infty}\frac{e^{-xt}}{t^n}\,\mathrm dtoperatorname{d}\!t</math>
を<math> {{mvar|n</math>}} 次の指数積分と呼び、
:<math>E_1(z)=\int_{1}^{\infty}\frac{e^{-zt}}{t}\,\mathrm dtoperatorname{d}\!t=\int_{z}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm dtoperatorname{d}\!t=-\mathrmoperatorname{Ei}(-z)\pm\pi{i}</math>
を<math>\mathrm {{math|Ei}(''z'')</math>}} と記すこともある。
== 級数展開 ==
<math>\mathrm{{math|Ei}(''z'')</math>}} は< {{math>|''z'' {{=}} 0</math>}} に真性特異点を持つ。しかし、
:<math>\begin{align}\frac{\operatorname{d}}{dz\operatorname{d}\!z}\left(\mathrmoperatorname{Ei}(z)-\log{z}\right)
&=\frac{e^z}{z}-\frac{1}{z}\\
\end{align}</math>
であるから
:<math>\begin{align}\mathrmoperatorname{Ei}(z)-\log{z}
&=C+\int_{0}^{z}\frac{e^t-1}{t}\,\mathrm dtoperatorname{d}\!t\\
&=C+\int_{0}^{z}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{t^{k-1}}{k!}\,\mathrm dtoperatorname{d}\!t\\
&=C+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k\;k!}\\
\end{align}</math>
である。定義により<math>\mathrm {{math|Ei}(-\infty−∞) {{=\pm\}} ±''&pi{;i''}</math>} であるから、積分定数の値は
:<math>\begin{align}C
&=\lim_{z\to\infty}\mathrmoperatorname{Ei}(-z)-\log{(-z)}-\int_{0}^{-z}\frac{e^t-1}{t}\,\mathrm dtoperatorname{d}\!t\\
&=\lim_{z\to-\infty}-\log{z}+\int_{0}^{z}\frac{1-e^{-t}}{t}\,\mathrm dtoperatorname{d}\!t\\
&=\lim_{z\to-\infty}\log\frac{z+1}{z}+\int_{0}^{z}\left(\frac{1-e^{-t}}{t}-\frac{1}{t+1}\right)\,\mathrm dtoperatorname{d}\!t\\
&=\int_{0}^{\infty}\left(\frac{1}{t(t+1)}-\frac{e^{-t}}{t}\right)\,\mathrm dtoperatorname{d}\!t\\
&=\gamma
\end{align}</math>
であり、従って、
:<math>\mathrmoperatorname{Ei}(z)=\gamma+\log{z}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k\;k!}</math>
となる。但し、<math>\{{mvar|&gamma</math>;}} は[[オイラーの定数]]である。
== 三角積分 ==
正弦積分 ({{En|sine integral}}) は[[三角関数|正弦関数]]を含む積分によって定義される関数である。
:<math>\begin{align}
&\mathrmoperatorname{Si}(z)=\int_{0}^{z}\frac{\sin{t}}{t}\,\mathrm dtoperatorname{d}\!t\\
&\mathrmoperatorname{siSi}(z)=\int_{z}^{\infty}\frac{\sin{t}}{t}\,\mathrm dtoperatorname{d}\!t=\frac{\pi}{2}-\mathrmoperatorname{Si}(z)\\
\end{align}</math>
余弦積分 ({{En|cosine integral}}) は[[三角関数|余弦関数]]を含む積分によって定義される関数である。
:<math>\mathrmoperatorname{Ci}(z)=-\int_{z}^{\infty}\frac{\cos{t}}{t}\,\mathrm dtoperatorname{d}\!t</math>
複素関数としての余弦積分は多価であるが、
:<math>\mathrmoperatorname{Ci}(z)=\gamma+\log{z}-\int_{0}^{z}\frac{1-\cos{t}}{t}\,\mathrm dtoperatorname{d}\!t</math>
とすれば、多価性にまつわる問題が全て <{{math>\|log{ ''z''}}\quad</math> に封じられる。
== 対数積分 ==
対数積分 ({{En|logarithmic integal}}) は[[対数関数]]の逆数の積分によって定義される関数である。
:<math>\begin{align}
&\mathrmoperatorname{li}(z)=\mathrmoperatorname{Ei}(\log{z})=\pm{\pi}i+\int_{0}^{z}\frac{1}{\log{t}}\,\mathrm dtoperatorname{d}\!t\\
&\mathrmoperatorname{Li}(z)=\mathrmoperatorname{Ei}(\log{z})-\mathrmoperatorname{Ei}(\log{2})=\int_{2}^{z}\frac{1}{\log{t}}\,\mathrm dtoperatorname{d}\!t\\
\end{align}</math>
実関数としての対数積分は[[コーシーの主値]]を用いる。
:<math>\begin{align}
&\mathrmoperatorname{li}(x)=\lim_{\epsilon\to+0}\int_{0}^{1-\epsilon}\frac{1}{\log{t}}\,\mathrm dtoperatorname{d}\!t+\int_{1+\epsilon}^{x}\frac{1}{\log{t}}\,\mathrm dtoperatorname{d}\!t\qquad(x>1)\\
\end{align}</math>
== 近似式 ==
絶対値が小さい {{mvar|x}} については
:<math>\mathrmoperatorname{Ei}(x)\approx\gamma+\ln |x|</math><br>
と近似できる。但し、{{mvar|γ}} は[[オイラーの定数]]である。また {{mvar|x}} の絶対値が十分に大きければ
:<math>\mathrmoperatorname{Ei}(x)\approx\frac{e^x}{x}\left(1+\frac{1!}{x}+\frac{2!}{x^2}+\frac{3!}{x^3}+\frac{4!}{x^4}+\frac{5!}{x^5}+\frac{6!}{x^6}+\cdots\right)</math><br>
と[[漸近近似]]できる。
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