「算術級数定理」の版間の差分
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=== 算術級数定理の証明 ===
<math>d,k</math>を互いに素な整数とするとき、算術級数<math>
:<math>\begin{align}
\log{L(s,\chi)} &=\log\prod_{p}\frac{1}{1-\chi(p)p^{-s}}=\sum_{p}\sum_{n\ge1}\frac{\chi(p^n)}{p^{ns}}\qquad(s>1)\\
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&=\varphi(d)\sum_{p\equiv{k}}{\frac{1}{p^s}}+O(1)\\
\end{align}</math>
である。但し、<math>\overline\chi(k)</math>は<math>\chi(k)</math>の複素共役を表す。補題により、<math>L(s,\chi_0)</math>は<math>s=1</math>に極を持ち、他の<math>L(s,\chi)</math>は<math>s=1</math>で正則であり、且つ、<math>L(1,\chi)\ne0</math>であるから、左辺は<math>s=1</math>で有界ではない。従って、右辺も<math>s\to1+</math>で発散しなければならず、そのためには<math>p\equiv
== 関連項目 ==
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