「ルジンの問題」の版間の差分

(→‎立方体を立方体に分割すること: 現状では正方形の分割と何処が異なるか分からないのでその部分を追加。正確には二段階目の最小の立法体が一段階目の立法体の上面の端にあると正方...)
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任意の[[立方体]]を全て異なる大きさの立方体で分けることは不可能で、これは背理法を用いる事で比較的簡単に説明することが出来る。
 
仮に[[立方体]]Aを全て異なる大きさの立方体で分けたとする。するとAの底面はこれらの立方体の底面により、分割されることとなる。Aの底面を分割している立方体の中で最も小さい立方体は、底面の角や辺に接することはなく四方を分割する立方体に囲まれている。更にこの立方体は隣接しているどの立方体よりも高さが低いので、その上には[[角柱|正方角柱]]状のくぼみが出来る。そのくぼみには、くぼみより大きい立方体を入れることは出来ない。また、くぼみの底と等しい大きさの立方体を使うことも出来ない。このくぼみより小さい立方体を使うことが考えられるが、くぼみの底には全て異なる大きさの立方体を使わなければならず、この問題が無限に繰り返される<!--★これは無限降下法ではない。ノート参照-->こととなり、立方体の数の有限性に矛盾。したがって、立方体を有限個の異なった大きさの立方体として分割することはできない。フェルマーの定理のn=3 の解がないことと同値でもある
 
==脚注==
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