「集積点」の版間の差分

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[[数学]]における'''集積点'''(しゅうせきてん、{{lang-en-short|''accumulation point''}})あるいは'''極限点'''(きょくげんてん、{{lang-en-short|''limit point''}})は、[[位相空間]] ''X'' の[[部分集合]] ''S'' に対して定義される概念で、(''X'' の位相に関する ''x'' の任意の[[近傍 (位相空間論)|近傍]]が ''x'' 自身を除く ''S'' の点を含むという意味で)''S'' によって「近似」することができるような ''X'' の点 ''x'' を ''S'' の集積点と呼ぶ。このとき、集積点 ''x'' は必ずしも ''S'' の点でくともよということには留意すべきである。集積点の概念は極限の概念を適切に一般化するしたものであり、[[閉集合]]や[[閉包 (位相空間論)|閉包]]といった概念を下支えするものになっている。実際、集合が閉であることとそれが自身の集積点をすべて含むことは同値でありまた集合に対する閉包作用はもとの集合にその集積点を付け加えることによる拡大操作として捉えることができられる。
 
任意の有限区間または有界区間はそれが無限個の点を含むならばなくとも一つの集積点を含まなければならないむ必要ある。しかし、さらに有界区間が無限個の点とただ一つの集積点を含むならば、区間内の任意の無限列がその唯一の集積点に収束する。
 
== 定義 ==
[[位相空間]] ''X'' の部分集合 ''S'' に対し、''X'' の点 ''x'' が ''S'' の'''集積点'''であるとは、''x'' を含む任意の[[開集合]]がなくとも一つの ''x'' と異なる ''S'' の点を含むきにいうを指す
 
この条件は[[T1空間| ''T''<sub>1</sub>-空間]]においては、''x'' の任意の[[近傍 (位相空間論)|近傍]]が ''S'' の点を無限に含むという条件に同値である(この条件は、もとの定義が「開近傍」を用いて集積点の判定を行うところを、開に限らない「一般の近傍」を使って行うことができるので、しばしば有用である)。
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