「オイラーの定数」の版間の差分

大文字のガンマ [[Γ]] で表される[[ガンマ関数]]と小文字のガンマ [[γ]] で表されるオイラーの定数は共にオイラーによって与えられたものであるが、オイラー自身は前者のガンマ関数を[[階乗]](factorial)と呼んでいる。ガンマ関数の記号は[[ルジャンドル]]に始まり、オイラーの定数の記号はマスケローニに始まるものである<ref name="Miller" />。オイラーの定数の記号がガンマ関数に由来するものであったのか、今となっては確かめようがないが、オイラーの定数がガンマ関数に関係しているということは確かである。すなわち、ガンマ関数の乗積表示

{{Indent|<math>\Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\displaystyle\prod_{k=0}^{n}{(z+k)}}</math>}}

{{Indent|<math>\begin{align}\Psi(z)&=\frac{d}{dz}\log\Gamma(z)=\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}\\

&=\lim_{n\to\infty}\left(\log{n}-\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{z+k}\right)