「数学の哲学」の版間の差分

The '''philosophy of mathematics''' is the branch of [[:en:philosophy|philosophy]] that studies the philosophical assumptions, foundations, and implications of [[:en:mathematics|mathematics]].

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The terms ''philosophy of mathematics'' and ''mathematical philosophy'' are frequently used as synonyms.<ref>{{cite journal |first=Edward A. |last=Maziars |title=Problems in the Philosophy of Mathematics (Book Review) | journal=Philosophy of Science | volume=36 | issue=3 |pages=p. 325 |year=1969}}. For example, when Edward Maziars proposes in a 1969 book review ''"to distinguish philosophical mathematics (which is primarily a specialized task for a mathematician) from mathematical philosophy (which ordinarily may be the philosopher's metier)"'', he uses the term ''mathematical philosophy'' as being synonymous with ''philosophy of mathematics''.</ref>

The latter, however, may be used to mean at least three other things. One sense refers to a project of formalizing a philosophical subject matter, say, [[:en:aesthetics|aesthetics]], [[:en:ethics|ethics]], [[:en:logic|logic]], [[:en:metaphysics|metaphysics]], or [[:en:theology|theology]], in a purportedly more exact and rigorous form, as for example the labors of [[:en:Scholasticism|Scholastic]] theologians, or the systematic aims of [[:en:Leibniz|Leibniz]] and [[:en:Spinoza|Spinoza]]. Another sense refers to the working philosophy of an individual practitioner or a like-minded community of practicing mathematicians. Additionally, some understand the term mathematical philosophy to be an allusion to the approach taken by [[:en:Bertrand Russell|Bertrand Russell]] in his book ''[[:en:Introduction to Mathematical Philosophy|Introduction to Mathematical Philosophy]]''.

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== テーマ ==

 

Recurrent themes include:

:* What are the sources of mathematical subject matter?

:* What is the [[:en:ontology|ontological]] status of mathematical entities?

歴史上、多くの[[思想家]]が、数学とは何かに関して彼らの考えを明らかにしてきた。今日でも数学の哲学者たちの中には、この種の問いとその成果をあるがまま説明しようとする人々もいるが、他方で、単純な解説に飽きたらず、批判的分析へと進む役割をもって任じる人々もいる。

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Many thinkers have contributed their ideas concerning the nature of mathematics. Today, some philosophers of mathematics aim to give accounts of this form of inquiry and its products as they stand, while others emphasize a role for themselves that goes beyond simple interpretation to critical analysis.

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There are traditions of mathematical philosophy in both [[:en:History of Western philosophy|Western philosophy]] and [[:en:Eastern philosophy|Eastern philosophy]]. Western philosophies of mathematics go as far back as [[:en:Plato|Plato]], who studied the [[:en:ontology|ontological status]] of mathematical objects, and [[:en:Aristotle|Aristotle]], who studied [[:en:logic|logic]] and issues related to [[infinity]] (actual versus potential). [[:en:Ancient Greece|Greek]] philosophy on mathematics was strongly influenced by their study of [[:en:geometry]]. At one time, the Greeks held the opinion that 1 (one) was not a [[:en:number]], but rather a unit of arbitrary length. A number was defined as a multitude. Therefore 3, for example, represented a certain multitude of units, and truly was ''not'' a number. At another point, a similar argument was made that 2 was not a number but a fundamental notion of a pair. These views come from the heavily geometric straight-edge-and-compass viewpoint of the Greeks: just as lines drawn in a geometric problem are measured in proportion to the first arbitrarily drawn line, so too are the numbers on a number line measured in proportional to the arbitrary first "number" or "one." These earlier Greek ideas of number were later upended by the discovery of the [[:en:Irrational number|irrationality]] of the square root of two. Hippasus, a disciple of Pythagoras, showed that the diagonal of a unit square was incommensurable with its (unit-length) edge: in other words he proved there was no existing (rational) number that accurately depicts the proportion of the diagonal of the unit square to its edge. This caused a significant re-evaluation of Greek philosophy of mathematics. According to legend, fellow Pythagoreans were so traumatized by this discovery that they murdered Hippasus to stop him from spreading his heretical idea.

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[[ゴットフリート・ライプニッツ|ライプニッツ]]とともに、焦点は数学と論理学の関係へと、強力に移動した。この見方は[[ゴットロープ・フレーゲ|フレーゲ]]とラッセルの時代を通して数学の哲学を支配したが、[[19世紀]]終期と[[20世紀]]初頭における発展によって疑問を付されるようになった。

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Beginning with [[:en:Leibniz|Leibniz]], the focus shifted strongly to the relationship between mathematics and logic. This view dominated the philosophy of mathematics through the time of [[:en:Gottlob Frege|Frege]] and of Russell, but was brought into question by developments in the late 19th and early 20th century.

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数学の哲学のかわらない課題の一つは、論理学と数学の双方の基礎につながる、相互の関係に関わっている。[[20世紀]]の哲学者が本記事の冒頭に掲げたような様々な問いを立てていく中で、20世紀の数学の哲学は[[形式論理学]]、[[集合論]]、基礎付けの問題への目立った関心によって特徴付けられる。

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A perennial issue in the philosophy of mathematics concerns the relationship between logic and mathematics at their joint foundations. While 20th century philosophers continued to ask the questions mentioned at the outset of this article, the philosophy of mathematics in the 20th century was characterized by a predominant interest in [[:en:formal logic]], [[:en:set theory]], and foundational issues.

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一方で数学的真理が避けがたく必然的であるように思えるのに、他方でその「真理性」の源泉がとらえどころがないままなのは、なかなか理解しがたい謎と言える。この問題の研究は、数学の基礎付けのプログラムとして知られる。

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It is a profound puzzle that on the one hand mathematical truths seem to have a compelling inevitability, but on the other hand the source of their "truthfulness" remains elusive. Investigations into this issue are known as the [[:en:foundations of mathematics|foundations of mathematics]] program.

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20世紀の初め、数学の哲学者たちはすでに、これら全ての問題に関して、数学の[[認識論]]と[[存在論]]をどのように思い描くかをめぐって、多様な学派に分かれていた。3つの学派すなわち[[形式主義 (数学)|形式主義]]、[[数学的直観主義|直観主義]]、[[論理主義 (数学)|論理主義]]がこのとき現れたのは、部分的には、それまで当然のことと考えられていた確実性と厳密性の基準を当時の数学、とくに[[解析学]]が満たしていないのではないかという当時広がりつつあった懸念への応答であった。当時この問題は焦眉の課題であり、問題の解決を試みるのであれ、数学には我々の最も信頼できる知識という地位を授かる資格がないと主張するのであれ、どの学派もこの問題に取り組んだ。

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At the start of the century, philosophers of mathematics were already beginning to divide into various schools of thought about all these questions, broadly distinguished by their pictures of mathematical [[:en:epistemology|epistemology]] and [[:en:ontology|ontology]]. Three schools, [[:en:formalism|formalism]], [[:en:intuitionism|intuitionism]], and [[:en:logicism|logicism]], emerged at this time, partly in response to the increasingly widespread worry that mathematics as it stood, and [[:en:mathematical analysis|analysis]] in particular, did not live up to the standards of [[:en:certainty|certainty]] and [[:en:rigor|rigor]] that had been taken for granted. Each school addressed the issues that came to the fore at that time, either attempting to resolve them or claiming that mathematics is not entitled to its status as our most trusted knowledge.

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}}

</ref>

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20世紀の中ごろ、[[圏論]]として知られる新たな数学理論が、[[自然言語]]による数学的思考に対する新たな競争者<!-- a new contender for the natural language of mathematical thinking -->として登場した（Mac Lane 1998）。しかしながら、20世紀が進むにつれ、まさに当初提起された基礎付けに関する疑問自体が如何によく基礎付けられるのか、というところへ哲学的関心は広がっていった。[[ヒラリー・パトナム]]は、20世紀後半の35年間の状況についての一つの共通見解を、次のように要約した。

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At the middle of the century, a new mathematical theory known as [[:en:category theory|category theory]] arose as a new contender for the natural language of mathematical thinking (Mac Lane 1998). As the 20th century progressed, however, philosophical opinions diverged as to just how well-founded were the questions about foundations that were raised at its opening. [[:en:Hilary Putnam|Hilary Putnam]] summed up one common view of the situation in the last third of the century by saying:

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}}

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<blockquote>

When philosophy discovers something wrong with science, sometimes science has to be changed — [[:en:Russell's paradox|Russell's paradox]] comes to mind, as does [[:en:George Berkeley|Berkeley]]'s attack on the actual [[:en:infinitesimal|infinitesimal]] — but more often it is philosophy that has to be changed. I do not think that the difficulties that philosophy finds with classical mathematics today are genuine difficulties; and I think that the philosophical interpretations of mathematics that we are being offered on every hand are wrong, and that "philosophical interpretation" is just what mathematics doesn't need. (Putnam, 169-170).

</blockquote>

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今日、数学の哲学は、数学の哲学研究者、論理学者、数学者によっていくつもの異なる研究の方向に進んでおり、この主題に関する多くの学派が存在する。次の節で、これらの学派を個別に取り上げ、彼らの仮説を説明する。

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Philosophy of mathematics today proceeds along several different lines of inquiry, by philosophers of mathematics, logicians, and mathematicians, and there are many schools of thought on the subject. The schools are addressed separately in the next section, and their assumptions explained.

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[[実在論]]が一般にそうであるように、数学的実在論もまた、数学的実体が人間の[[心]]とは離れたところに実在していると考えている。それゆえ、人間が数学を発明したのではなく、数学を発見したのだ、ということになる。宇宙に別に知的生命がいるとすれば、それがどんな存在であっても同じように数学を発見するであろう。この観点から言えば、発見されうる数学はたった一種類だけである。例えば、[[三角形]]は真の実体であり、人間の心が生みだしたものではない。

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''Mathematical realism'', like [[:en:Philosophical realism|realism]] in general, holds that mathematical entities exist independently of the human [[:en:mind|mind]]. Thus humans do not invent mathematics, but rather discover it, and any other intelligent beings in the universe would presumably do the same. In this point of view, there is really one sort of mathematics that can be discovered: [[:en:Triangle|Triangle]]s, for example, are real entities, not the creations of the human mind.

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現場の多くの数学者は数学的実在論者であった。彼らは、彼ら自身を自然に発生する対象の発見者だとみなしている。数学的実在論者の例には、[[ポール・エルデシュ]]や[[クルト・ゲーデル]]も含まれる。ゲーデルは、ある意味で感覚的知覚と同様に知覚されうる客観的な数学的実在を信じていた。彼らによれば、無媒介に真であると考えられる確実な原理（例えば、任意の二つの対象について、正確にその二つの対象によって構成される対象のコレクションが存在する）というものがいくつかある。しかし、[[連続体仮説]]のように、そのような原理だけをもとにしては決定的に証明することができない仮説もある。ゲーデルによれば、このような仮説を合理的に仮定するのに十分な証拠を提供するために、準経験的な方法論を用いることができる。

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Many working mathematicians have been mathematical realists; they see themselves as discoverers of naturally occurring objects. Examples include [[:en:Paul Erdős|Paul Erdős]] and [[:en:Kurt Gödel|Kurt Gödel]]. Gödel believed in an objective mathematical reality that could be perceived in a manner analogous to sense perception. Certain principles (e.g., for any two objects, there is a collection of objects consisting of precisely those two objects) could be directly seen to be true, but some conjectures, like the [[:en:continuum hypothesis|continuum hypothesis]], might prove undecidable just on the basis of such principles. Gödel suggested that quasi-empirical methodology could be used to provide sufficient evidence to be able to reasonably assume such a conjecture.

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どんな存在が数学的実体であるのか、また、どうすれば我々はそれらを知るのかをめぐって、実在論の内部にいくつもの異なる立場がある。

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Within realism, there are distinctions depending on what sort of existence one takes mathematical entities to have, and how we know about them.

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実在論の一形態としてのプラトニズムは、数学的実体が抽象的であり、空間的時間的ないし因果的な性質をもたず、永遠不変のものであると考えている。数というものについて、多くの人々がこのような見解を抱いているとしばしば主張される。プラトニズムという用語が使われる理由は、このような観点が、不変かつ究極的な実在に対して日常的世界がその不完全な近似であるに過ぎないとする、[[プラトン]]の（「プラトンの洞窟」のたとえで表される）「イデア界」の教説とパラレルであるように見えることに由来する。「プラトンの洞窟」とか「プラトニズム」という言い方には表面的というにとどまらない深い意味がある。なぜなら、古代ギリシアでは[[ピタゴラス教団|ピュタゴラス教団]]が広範な人気を誇っていたが、この学派によれば世界は文字通り[[数]]から生まれたのであり、そしてこの学派は時間的にプラトンの思想に先行しており、おそらくプラトンの考えはこれに影響を受けているからである。

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''Platonism'' is the form of realism that suggests that mathematical entities are abstract, have no spatiotemporal or causal properties, and are eternal and unchanging. This is often claimed to be the view most people have of numbers. The term ''Platonism'' is used because such a view is seen to parallel [[:en:Plato|Plato]]'s belief in a "World of Ideas" (typified by [[:en:Allegory of the cave|Plato's cave]]): the everyday world can only imperfectly approximate of an unchanging, ultimate reality. Both ''Plato's cave'' and ''Platonism'' have meaningful, not just a superficial connections, because Plato's ideas were preceded and probably influenced by the hugely popular ''[[:en:Pythagoreans|Pythagoreans]]'' of ancient Greece, who believed that the world was, quite literally, generated by [[:en:number|number]]s.

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数学的プラトニズムの主要な問題は、次のようなものである。数学的実体は、正確にどこに、またどのように存在するのか？ また、我々はそれをどのように知りうるのか？ 我々の物理的世界と完全に分離され、数学的実体によって占有された世界があるのか？ どうすれば我々はその分離された世界に接近でき、数学的実体についての真理を発見できるのか？ 一つの答えは[[数学的宇宙仮説]]（究極集合）の理論であろう。この理論に従えば、数学的に存在するすべての構造は、それ固有の世界において物理的にも存在するものとされる。

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The major problem of mathematical platonism is this: precisely where and how do the mathematical entities exist, and how do we know about them? Is there a world, completely separate from our physical one, which is occupied by the mathematical entities? How can we gain access to this separate world and discover truths about the entities? One answer might be [[:en:Ultimate ensemble]], which is a theory that postulates all structures that exist mathematically also exist physically in their own universe.

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ゲーデルのプラトニズムは、我々を数学的対象の直接的な知覚へと導く、特別な種類の数学的直観を前提にしている。この考えかたは、[[エトムント・フッサール|フッサール]]が数学について語った多くのことと類似しており、数学的知識は総合的かつ[[アプリオリ]]であるとする[[イマヌエル・カント|カント]]の考えを支持している。[[フィリップ・J・デイヴィス]]と[[ルーベン・ハーシュ]]は共著『数学的経験』''The Mathematical Experience''において、多くの数学者は日頃はまるでプラトニストであるかのように振舞っているのに、慎重にその立場を表明せざるをえないときには[[#形式主義（Formalism）|形式主義]]（後述）に後退することがある、と指摘した。

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Gödel's platonism postulates a special kind of mathematical intuition that lets us perceive mathematical objects directly. (This view bears resemblances to many things [[:en:Husserl]] said about mathematics, and supports [[:en:Kant|Kant]]'s idea that mathematics is [[:en:Analytic-synthetic distinction#Conceptual containment|synthetic]] [[:en:A priori and a posteriori (philosophy)|a priori]].) [[:en:Philip J. Davis|Davis]] and [[:en:Reuben Hersh|Hersh]] have suggested in their book ''The Mathematical Experience'' that most mathematicians act as though they are Platonists, even though, if pressed to defend the position carefully, they may retreat to [[:en:Philosophy_of_mathematics#Formalism|formalism]] (see below).

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数学者の中には、さらに微妙に異なるバージョンのプラトニズムに帰着する見解を抱く者もいる。こういう考え方は、[[ネオ・プラトニズム]]と呼ばれることもある。

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Some mathematicians hold opinions that amount to more nuanced versions of Platonism. These ideas are sometimes described as [[:en:neoplatonism|Neo-Platonism]].

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==== 論理主義<!-- Logicism --> ====

'''論理主義'''は、数学は論理学に還元可能で、ゆえに数学は論理学の一部以外の何者でもないというテーゼである（Carnap 1931/1883, 41）。論理主義者の考えでは、数学は[[アプリオリ]]に知ることができるが、我々の数学の知識は我々が論理学全般についてもっている知識の一部分にすぎない。そのためわれわれの数学知識にとって、いかなる数学的直観の特別な能力も不要で、命題の分析をすればよい。論理主義に従えば、論理学が数学の固有の基礎であり、全ての数学的言明は必然的な論理的真理である。

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''Logicism'' is the thesis that mathematics is reducible to logic, and hence nothing but a part of logic (Carnap 1931/1883, 41). Logicists hold that mathematics can be known ''[[:en:a priori|a priori]]'', but suggest that our knowledge of mathematics is just part of our knowledge of logic in general, and is thus [[:en:analytic proposition|analytic]], not requiring any special faculty of mathematical intuition. In this view, [[:en:logic|logic]] is the proper foundation of mathematics, and all mathematical statements are necessary logical truths.

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[[ルドルフ・カルナップ]]（1931年）は、論理主義の論点を2点提示している。

# 数学の'''概念'''は、論理学的概念から明示的な定義をとおして導きうる。

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[[:en:Rudolf Carnap|Rudolf Carnap]] (1931) presents the logicist thesis in two parts:

: {|

| 2. || The ''theorems'' of mathematics can be derived from logical axioms through purely logical deduction.

|}

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[[ゴットロープ・フレーゲ]]が論理主義の創始者であった。独創的な論文『算術の基本法則』''Die Grundgesetze der Arithmetik'' の中で、彼は内包性の一般原理を用いて、一つの論理学体系から数学を作りあげている。この内包性の一般原理を彼は「基本ルールV」と呼んでいる（概念 ''F'' と ''G'' において、全ての対象 ''a'' について ''Ga'' のときかつそのときに限り ''Fa'' であるならば、そのときに限って、''F'' の外延と ''G'' の外延は等しい）。彼はこの原理を論理学の一部として受け入れることができると考えた。

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Gottlob Frege was the founder of logicism. In his seminal ''Die Grundgesetze der Arithmetik'' (''Basic Laws of Arithmetic'') he built up [[:en:arithmetic|arithmetic]] from a system of logic with a general principle of comprehension, which he called "Basic Law V" (for concepts ''F'' and ''G'', the extension of ''F'' equals the extension of ''G'' if and only if for all objects ''a'', ''Fa'' if and only if ''Ga''), a principle that he took to be acceptable as part of logic.

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しかし、フレーゲの構成には欠陥があった。[[バートランド・ラッセル|ラッセル]]が「基本ルールV」に矛盾があることを発見したのである。これが[[ラッセルのパラドックス]]である。この後すぐフレーゲは彼の論理主義のプログラムを捨てたが、ラッセルと[[アルフレッド・ノース・ホワイトヘッド|ホワイトヘッド]]が後継者となった。彼らは、このパラドックスを「悪循環」に由来するものとし、これを扱うために「分岐タイプ理論」（{{lang-en-short|[[:en:ramified type theory|ramified type theory]]}}）なるものを作り上げた。この理論を用いれば最終的に近代数学の多くの部分を作り上げることができるが、しかしその数学は部分的に変更されており、また非常に複雑な形式となる（例えば、それぞれのタイプに異なる自然数があり、無限に多くのタイプが存在する）。彼らはまた、数学の大部分を構築するために、「還元公理」（{{lang-en-short|[[:en:axiom of reducibility|axiom of reducibility]]}}）をはじめとするいくつかの妥協をしなくてはならなかった。ラッセルでさえ、この公理は実際には論理学に属するものではない、と述べたほどであった。

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Frege's construction was flawed. Russell discovered that Basic Law V is inconsistent. (This is [[:en:Russell's paradox|Russell's paradox]].) Frege abandoned his logicist program soon after this, but it was continued by Russell and [[:en:Alfred North Whitehead|Whitehead]]. They attributed the paradox to "vicious circularity" and built up what they called [[:en:ramified type theory|ramified type theory]] to deal with it. In this system, they were eventually able to build up much of modern mathematics but in an altered, and excessively complex, form (for example, there were different natural numbers in each type, and there were infinitely many types). They also had to make several compromises in order to develop so much of mathematics, such as an "[[:en:axiom of reducibility|axiom of reducibility]]". Even Russell said that this axiom did not really belong to logic.

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現代の論理主義者は（ボブ・ヘイル（[[:en:Bob Hale (philosopher)|Bob Hale]]）やクリスピン・ライト（[[:en:Crispin Wright|Crispin Wright]]）、おそらくは他の人々も）、フレーゲのものに近いプログラムに回帰している。彼らは基本法則Vを捨ててしまって、[[ヒュームの原理]]（概念 ''F'' に帰属する対象の数は、概念 ''G'' に帰属する対象の数と、''F'' の外延と ''G'' の外延が[[全単射|一対一対応]]させられるとき、かつそのときに限り、等しい。）のような抽象原理を支持している。フレーゲは数の明示的な定義のために基本法則Vを必要としたが、数の全ての性質はヒュームの原理から導き出せる。これはフレーゲにとって不満の残る原理であっただろう。（彼の言葉を換言すれば）実際のところ、数3が[[ジュリアス・シーザー]]と同一である可能性を排除しないからである。加えて、彼らが基本法則Vを置き換えるために採用せざるをえなかった弱められた原理の多くは、もほやそれほど明白に命題分析的ではなく、したがって純粋に論理学的でもないように思える。

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Modern logicists (like [[:en:Bob Hale (philosopher)|Bob Hale]], [[:en:Crispin Wright|Crispin Wright]], and perhaps others) have returned to a program closer to Frege's. They have abandoned Basic Law V in favour of abstraction principles such as [[:en:Hume's principle|Hume's principle]] (the number of objects falling under the concept ''F'' equals the number of objects falling under the concept ''G'' if and only if the extension of ''F'' and the extension of ''G'' can be put into [[:en:bijection|one-to-one correspondence]]). Frege required Basic Law V to be able to give an explicit definition of the numbers, but all the properties of numbers can be derived from Hume's principle. This would not have been enough for Frege because (to paraphrase him) it does not exclude the possibility that the number 3 is in fact Julius Caesar. In addition, many of the weakened principles that they have had to adopt to replace Basic Law V no longer seem so obviously analytic, and thus purely logical.

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もし数学が論理学の一部分であるならば、数学的対象に関する疑問は、論理学的対象への疑問へと還元される。しかしそれでは、論理的概念の対象とは何なのか？ この視点からは、論理主義は、完全な回答を与えることなく、数学の哲学に関する疑問を論理学に関する疑問に移動させたようにみえるかもしれない。

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If mathematics is a part of logic, then questions about mathematical objects reduce to questions about logical objects. But what, one might ask, are the objects of logical concepts? In this sense, logicism can be seen as shifting questions about the philosophy of mathematics to questions about logic without fully answering them.

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'''経験主義'''は実在論の一種であるが、数学が[[アプリオリ]]に知られうるということを全く否定するものである。経験主義は、ちょうどすべての他の科学の事実がそうであるように、我々は[[経験主義|経験的]]な探求によって数学的事実を発見する、とする。経験主義は、20世紀初頭に唱導された古典的な3つの立場とは別に、同世紀中葉に最初に成立した。ただし同様の見解は先駆的には[[ジョン・スチュワート・ミル]]が提起していた。ミルの見解は広く批判された。なぜなら、その見解に従えば、「2 + 2 = 4」のような言明でも不確実で偶然的な真理にすぎず、2個の事物が2組合わさると4つとなることを観察することによってしか学ぶことができないものとされてしまうからである。

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''Empiricism'' is a form of realism that denies that mathematics can be known [[:en:A priori and a posteriori (philosophy)|a priori]] at all. It says that we discover mathematical facts by [[:en:empirical|empirical]] research, just like facts in any of the other sciences. It is not one of the classical three positions advocated in the early 20th century, but primarily arose in the middle of the century. However, an important early proponent of a view like this was [[:en:John Stuart Mill|John Stuart Mill]]. Mill's view was widely criticized, because it makes statements like "2 + 2 = 4" come out as uncertain, contingent truths, which we can only learn by observing instances of two pairs coming together and forming a quartet.

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[[ウィラード・ヴァン・オーマン・クワイン|クワイン]]と[[ヒラリー・パトナム|パトナム]]によって定式化された現代の数学的経験主義の主な論拠は、'''不可欠性論法'''（{{lang-en-short|indispensability argument}}）<!-- 定訳不明 -->である。これは、数学は全ての経験科学にとって不可欠であり、もし我々がその科学によって記述される現象の実在性を信じたいのであれば、我々はその記述のために必要とされるそれらの事物の実在性もまた信じなくてはならない。つまり、電球があのように振舞うのは何故なのか述べるために物理学は[[電子]]に言及しなければならないのだから、電子は実在しているはずである。科学がその説明を提供するのに数について語る必要があるのだから、数は実在しているはずである。クワインとパトナムの哲学全体からは、これは自然主義的な議論である。この立場は数学的対象の存在を経験の最善の説明として論じ、そのようにして、数学からそれを他の科学から区別しているものを剥ぎ取る。

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Contemporary mathematical empiricism, formulated by [[:en:W.V. Quine|Quine]] and [[:en:Hilary Putnam|Putnam]], is primarily supported by the ''indispensability argument'': mathematics is indispensable to all empirical sciences, and if we want to believe in the reality of the phenomena described by the sciences, we ought also believe in the reality of those entities required for this description. That is, since physics needs to talk about [[:en:electron|electron]]s to say why light bulbs behave as they do, then electrons must [[:en:Existence|exist]]. Since physics needs to talk about numbers in offering any of its explanations, then numbers must [[:en:Existence|exist]]. In keeping with Quine and Putnam's overall philosophies, this is a naturalistic argument. It argues for the existence of mathematical entities as the best explanation for experience, thus stripping mathematics of some of its distinctness from the other sciences.

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パトナムは「プラトニスト」という言葉を、いかなる本当のいみでの数学的実践にも必要とされない特定の存在論を示唆する言葉として、強く拒否した。彼は一種の「純粋な実在論」（{{lang-en-short|pure realism}}）<!-- 定訳不明 -->を擁護した。それは、真理についての神秘的な考え方を拒否し、数学における準経験主義を大いに受け入れるものであった。彼は、「純粋な実在論」という言葉を生み出すことにかかわった（後述）。

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Putnam strongly rejected the term "[[:en:Platonist|Platonist]]" as implying an overly-specific [[:en:ontology|ontology]] that was not necessary to [[:en:mathematical practice|mathematical practice]] in any real sense. He advocated a form of "pure realism" that rejected mystical notions of [[:en:truth|truth]] and accepted much [[:en:quasi-empiricism in mathematics|quasi-empiricism in mathematics]]. Putnam was involved in coining the term "pure realism" (see below).

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数学についての経験主義的な見解へのもっとも重要な批判は、ミルに対して提起されたものとおおよそ同じである。もし数学が他の科学と同じだけ経験的ならば、そのことは数学の結果も他の科学の結果と同じだけ誤りやすく、同じだけ偶然的であることを意味している。ミルの場合は経験的正当化は無媒介的になされたが、クワインの場合は間接的で、科学理論全体の整合性（[[エドワード・オズボーン・ウィルソン]]のいうところの[[エドワード・オズボーン・ウィルソン#コンシリエンス|コンシリエンス]]<!-- そうなの？ -->）を通してなされる。クワインが指摘するところでは、数学が完全に確実なようにみえるのは、数学が演じている役割が我々の信念の網の非常に中央にあるからであり、それを修正することは我々にとって不可能ではないまでもとてつもなく困難だからである。

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The most important criticism of empirical views of mathematics is approximately the same as that raised against Mill. If mathematics is just as empirical as the other sciences, then this suggests that its results are just as fallible as theirs, and just as contingent. In Mill's case the empirical justification comes directly, while in Quine's case it comes indirectly, through the coherence of our scientific theory as a whole, i.e. [[:en:consilience|consilience]] after [[:en:E O Wilson|E O Wilson]]. Quine suggests that mathematics seems completely certain because the role it plays in our web of belief is incredibly central, and that it would be extremely difficult for us to revise it, though not impossible.

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クワインとゲーデルのアプローチの欠点をそれぞれの面から克服しようと試みる数学の哲学については、[[ペネロプ・マディー]] ([[:en:Penelope Maddy|Penelope Maddy]]) の著書『数学における実在論』''Realism in Mathematics''を参照せよ。<!-- 実在論の理論の他の一つの例は、生得理論（{{lang-en-short|embodied mind theory}}）である（後述）。-->

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このことを示す経験的な証拠として、一歳児は基礎的な算数を行うことができる。

For experimental evidence suggesting that one-day-old babies can do elementary arithmetic, see [[:en:Brian Butterworth|Brian Butterworth]].

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==== 形式主義<!-- Formalism --> ====

形式主義とは、数学的言明はいくつかの記号列の操作ルールの帰結についての言明とみなしてよいと考えるものである。例えば、[[ユークリッド幾何学]]という「ゲーム」（つまり、「公理」という名のいくつかの記号列と、与えられた記号列から新しい記号列を生成する「推理規則」からなるものとみなすということ）において、[[ピタゴラスの定理]]が成立する（すなわち、ピタゴラスの定理に対応する記号列を生成できる）ということは証明可能である。形式主義によるなら、数学的真理とは、数とか集合とか三角形といったものについての真理ではない。実のところ、なにものかに「ついての」真理などでは全くない。

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''Formalism'' holds that mathematical statements may be thought of as statements about the consequences of certain string manipulation rules. For example, in the "game" of [[:en:Euclidean geometry]] (which is seen as consisting of some strings called "axioms", and some "rules of inference" to generate new strings from given ones), one can prove that the [[:en:Pythagorean theorem]] holds (that is, you can generate the string corresponding to the Pythagorean theorem). Mathematical truths are not about numbers and sets and triangles and the like — in fact, they aren't "about" anything at all!

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別の種類の形式主義はしばしば[[演繹主義]]（{{lang-en-short|[[:en:deductivism|deductivism]]}}）という名前で知られている。演繹主義によれば、ピタゴラスの定理は絶対的な真理ではなく、相対的な真理である。「もし」ゲームの規則が真になるような仕方で文字列に意味が与えられるなら、「そのとき」定理を真と認めなくてはいけない。あるいはむしろ、それに与えられた解釈が真なる言明であるとしなければならない。他のすべての数学的言明についても同じことが真とされる。それゆえ、形式主義では、数学は意味のない記号ゲームにすぎないと考える必要はない。ゲームの規則が妥当するなんらかの解釈が存在するということが通常期待されているからである（この立場を[[構造主義]]と比較せよ）。しかし、形式主義によって現場の数学者たちは仕事を続けることができるし、いくつかの問題を哲学者や自然科学者に委ねることができる。多くの形式主義者は、どんな公理系を研究すべきかは、実際上、自然科学や他の数学領域の要求によって示唆されると言うであろう。

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Another version of formalism is often known as [[:en:deductivism]]. In deductivism, the Pythagorean theorem is not an absolute truth, but a relative one: ''if'' you assign meaning to the strings in such a way that the rules of the game become true (ie, true statements are assigned to the axioms and the rules of inference are truth-preserving), ''then'' you have to accept the theorem, or, rather, the interpretation you have given it must be a true statement. The same is held to be true for all other mathematical statements. Thus, formalism need not mean that mathematics is nothing more than a meaningless symbolic game. It is usually hoped that there exists some interpretation in which the rules of the game hold. (Compare this position to [[:en:Structuralism#Structuralism in the philosophy of mathematics|structuralism]].) But it does allow the working mathematician to continue in his or her work and leave such problems to the philosopher or scientist. Many formalists would say that in practice, the axiom systems to be studied will be suggested by the demands of science or other areas of mathematics.

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形式主義を唱えた初期の最も有名な人物は[[ダフィット・ヒルベルト]]であった。ヒルベルトの[[ヒルベルト・プログラム|プログラム]]とは、数学全体を[[ゲーデルの完全性定理|完全]]かつ[[:en:consistency|無矛盾]]な仕方で公理化しようとするものであった。ここで無矛盾とは、体系上いかなる矛盾も生じないということである。ヒルベルトは、「有限算術」（通常の[[算術]]の下位体系で、[[自然数]]について哲学的に議論しようもないよう選ばれたもの）は無矛盾であるという仮定条件のもとで、数学の体系的無矛盾性を示そうとしたのである。しかし、完全かつ無矛盾な数学体系を作りだそうというヒルベルトの目標は、[[ゲーデルの不完全性定理|ゲーデルの第2不完全性定理]]によって完全に潰えた。不完全性定理によれば、十分な表現力を持つ無矛盾な公理体系は自身の無矛盾性を決して証明できないからである。このような公理体系はかならず有限算術を下位体系として含むことになるから、ゲーデルの定理は、有限算術に関する体系の無矛盾性が証明不可能であることも含意している（自己の無矛盾性を証明することになるが、ゲーデルによってそれが不可能であることが証明されている）。それゆえ、無矛盾であると証明しようとしている体系よりもある意味で強力な無矛盾性を数学体系が備えているのだということをまず前提しておかなければ、数学のどんな公理体系も実際に無矛盾であることを示すことはできないことになる。

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A major early proponent of formalism was [[:en:David Hilbert]], whose [[:en:Hilbert's program|program]] was intended to be a [[:en:Gödel's completeness theorem|complete]] and [[:en:consistency proof|consistent]] axiomatization of all of mathematics. ("Consistent" here means that no contradictions can be derived from the system.) Hilbert aimed to show the consistency of mathematical systems from the assumption that the "finitary arithmetic" (a subsystem of the usual [[:en:arithmetic]] of the positive [[:en:integers]], chosen to be philosophically uncontroversial) was consistent. Hilbert's goals of creating a system of mathematics that is both complete and consistent was dealt a fatal blow by the second of [[:en:Gödel's incompleteness theorem]]s, which states that sufficiently expressive consistent axiom systems can never prove their own consistency. Since any such axiom system would contain the finitary arithmetic as a subsystem, Gödel's theorem implied that it would be impossible to prove the system's consistency relative to that (since it would then prove its own consistency, which Gödel had shown was impossible). Thus, in order to show that any axiomatic system of mathematics is in fact consistent, one needs to first assume the consistency of a system of mathematics that is in a sense stronger than the system to be proven consistent.

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初期のヒルベルトは演繹主義者であったが、上記のように、メタ数学的方法が本質的に有意味な結果を生み出すと考え、有限算術に関して実在論の立場に立っていた。後年には、どんな解釈を取ろうとも有意味な数学は他に一切ありえないという見解をもつようになった。

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Hilbert was initially a deductivist, but, as may be clear from above, he considered certain metamathematical methods to yield intrinsically meaningful results and was a realist with respect to the finitary arithmetic. Later, he held the opinion that there was no other meaningful mathematics whatsoever, regardless of interpretation.

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[[ルドルフ・カルナップ]]、[[アルフレト・タルスキ]]、[[ハスケル・カリー]]ら他の形式主義者たちは、数学とは[[形式体系|形式公理系]]の研究のことであると考えた。[[数理論理学|数理論理学者]]は形式体系を研究しているが、形式主義の立場に立つ研究者も実在論の立場に立つ研究者も同程度にいる。

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Other formalists, such as [[:en:Rudolf Carnap]], [[:en:Alfred Tarski]] and [[:en:Haskell Curry]], considered mathematics to be the investigation of [[:en:formal system|formal axiom systems]]. [[:en:Mathematical logic]]ians study formal systems but are just as often realists as they are formalists.

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形式主義の信奉者は、論理学や非標準的数系、新しい集合論などといった新たなアプローチに対して比較的寛容であり、これらのアプローチを推進している。われわれが研究するゲームが多ければ多くほどよい。もっとも、例に挙げたこの3つのアプローチの動機づけになっているのは、すべて現在の数学的ないし哲学的関心である。「ゲーム」は通常恣意的なものではないのである。

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Formalists are relatively tolerant and inviting to new approaches to logic, non-standard number systems, new set theories etc. The more games we study, the better. However, in all three of these examples, motivation is drawn from existing mathematical or philosophical concerns. The "games" are usually not arbitrary.

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形式主義に対する主要な批判は、数学者たちの念頭にある現在の数学的概念は、前述した記号列操作ゲームとは縁もゆかりもないということである。例えば形式主義はどんな公理系を研究すべきかという問いに対しては沈黙する。形式主義的観点からはどの公理系も同等に有意味だからである。

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The main critique of formalism is that the actual mathematical ideas that occupy mathematicians are far removed from the string manipulation games mentioned above. Formalism is thus silent to the question of which axiom systems ought to be studied, as none is more meaningful than another from a formalistic point of view.

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近年では、形式主義の立場に立つ数学者たちの中には、われわれの「形式的」な数学知識のすべてをコンピュータ読み取り可能な形態で体系的にコード化することを提案した者たちもいる。これによって数学的証明の[[自動推論|自動検証]]が容易に行えるようになり、数学理論とコンピュータ・ソフトウェアの発展のために[[双方向定理証明]]を用いることができるようになるというのである。 この考え方は[[計算機科学|コンピュータサイエンス]]と密接に結びついているので、「計算可能性」研究の流れのもとで数学的直観主義と数学的構築主義を擁護することにもなった（後述）。概略は[[QEDプロジェクト]]を参照。

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Recently, some formalist mathematicians have proposed that all of our ''formal'' mathematical knowledge should be systematically encoded in [[:en:computer-readable]] formats, so as to facilitate [[:en:proof checking|automated proof checking]] of mathematical proofs and the use of [[:en:proof assistant|interactive theorem proving]] in the development of mathematical theories and computer software. Because of their close connection with [[:en:computer science]], this idea is also advocated by mathematical intuitionists and constructivists in the "computability" tradition (see below). See [[:en:QED project]] for a general overview.

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数学における直観主義とは、「非経験的な数学的真理はありえない」（[[ライツェン・エヒベルトゥス・ヤン・ブラウワー|L・E・J・ブラウワー]]）をモットーとする方法論的改革のプログラムである。直観主義の信奉者はこのモットーを出発点に、彼らが矯正可能であると考えた数学の一部分について、存在、生成、直観、知識といったカント的概念に従って再構築しようとした。運動の創始者であるブラウワーは、数学的対象は「[[アプリオリ]]」な形式の意思作用から生じるのであり、この意思作用が経験的対象の知覚を活気づけるのだとした（CDP, 542）。

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In mathematics, intuitionism is a program of methodological reform whose motto is that "there are no non-experienced mathematical truths" ([[:en:Luitzen Egbertus Jan Brouwer|L.E.J. Brouwer]]). From this springboard, intuitionists seek to reconstruct what they consider to be the corrigible portion of mathematics in accordance with Kantian concepts of being, becoming, intuition, and knowledge. Brouwer, the founder of the movement, held that mathematical objects arise from the ''a priori'' forms of the volitions that inform the perception of empirical objects. (CDP, 542)

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[[レオポルト・クロネッカー]]は「自然数は神に由来し、他のすべては人間の産物である」と述べている。直観主義擁護派の主要人物は、いかなる種類の形式化された論理学も数学にとって有益でないとしたブラウワーであった。彼の学生であった[[アレン・ハイティング]]は[[直観論理]]を定式化した。これは、古典的な[[論理学#アリストテレスの三段論法|アリストテレス論理学]]とは異なるものである。直観論理は[[排中律]]を含まず、従って[[背理法]]を認めない。また直観主義的集合論の多くにおいては、若干の例外を除いて[[選択公理]]も斥けられている。直観主義に基づいて後年行われた重要な研究としては[[エレット・ビショップ]]によるものがある。ビショップは[[実解析]]の主要公理を直観主義的観点から定義し直し、その証明を行おうとした。

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[[:en:Leopold Kronecker]] said: "The natural numbers come from God, everything else is man's work." A major force behind Intuitionism was [[:en:L.E.J. Brouwer]], who rejected the usefulness of formalized logic of any sort for mathematics. His student [[:en:Arend Heyting]] postulated an [[:en:intuitionistic logic]], different from the classical [[:en:Aristotelian logic]]; this logic does not contain the [[:en:Law of excluded middle|law of the excluded middle]] and therefore frowns upon [[:en:Reductio ad absurdum|proofs by contradiction]]. The [[:en:axiom of choice]] is also rejected in most intuitionistic set theories, though in some versions it is accepted. Important work was later done by [[:en:Errett Bishop]], who managed to prove versions of the most important theorems in [[:en:real analysis]] within this framework.

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直観主義の「明白な構成」という用語の定義は曖昧であり、批判を浴びた。この欠陥を補うため [[チューリングマシーン]]や[[計算可能関数]]といった概念を用いることが試みられ、有限な[[アルゴリズム]]のふるまいに関する問題だけが有意味であり、数学的研究の対象であるべきであるといった主張がなされた。[[アラン・チューリング]]によって提案された[[計算可能数]]の研究も行われた。従って、直観主義のアプローチがしばしば[[計算機科学|コンピュータサイエンス]]の理論と結びついているのも不思議なことではない。

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In intuitionism, the term "explicit construction" is not cleanly defined, and that has led to criticisms. Attempts have been made to use the concepts of [[:en:Turing machine]] or [[:en:computable function]] to fill this gap, leading to the claim that only questions regarding the behavior of finite [[:en:algorithm]]s are meaningful and should be investigated in mathematics. This has led to the study of the [[:en:computable number]]s, first introduced by [[:en:Alan Turing]]. Not surprisingly, then, this approach to mathematics is sometimes associated with theoretical [[:en:computer science]].

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直観主義と同様、構成主義もまた、一定のいみで明白に構成することのできる数学的なものだけが数学的言説において認められるべきであるという規制原理を主張する。この考え方によれば、数学とは人間の直観の営みであって、有意味な記号を用いたゲームなどではない。そうではなく、数学とは、われわれが心的活動を通じて直接作り出せるものに関係している。また、構成主義の支持者たちの中には、非構成的証明（[[背理法]]など）を拒否する者もいる。

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Like intuitionism, constructivism involves the regulative principle that only mathematical entities which can be explicitly constructed in a certain sense should be admitted to mathematical discourse. In this view, mathematics is an exercise of the human intuition, not a game played with meaningless symbols. Instead, it is about entities that we can create directly through mental activity. In addition, some adherents of these schools reject non-constructive proofs, such as a proof by contradiction.

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数学におけるフィクショナリズム（{{lang-en-short|[[:en:Fictionalism|Fictionalism]]}}）は、1980年に[[ハートリー・フィールド]]が『数を用いない科学』''Science Without Numbers''を出版し、その中でクワインの不可欠性論法を退け、実際に覆したときに有名となった。クワインは、数学は私たちのもっとも優れた科学的な諸理論のために不可欠であり、したがって独立に存在する事物について言及する真理の主要部として受け入れなくてはならないとしたが、フィールドは不可欠ではなく、したがって実在的な何者にも言及することのない虚偽であると指摘した。彼はこれを、まったく数と関数を用いることのない[[ニュートン力学]]の完全な公理系を提供することによって行った。ヒルベルトの公理系（{{lang-en-short|[[:en:Hilbert's axioms|Hilbert's axioms]]}}）の「間にある」（{{lang-en-short|betweenness}}）という概念を使って座標を付けることなく空間を特徴づけることをはじめ、それまでは[[ベクトル場]]によって行われていたことをするために点の間のさらなる関係を加える。ヒルベルトの幾何学は、それが抽象的な点について述べるため、数学的である。しかし、フィールドの理論においては、これらの点は物理的空間における具体的な点であって、そのため特別な数学的対象はまったく必要ない。

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[[:en:Fictionalism|Fictionalism]] in mathematics was brought to fame in 1980 when [[:en:Hartry Field|Hartry Field]] published ''Science Without Numbers'', which rejected and in fact reversed Quine's indispensability argument. Where Quine suggested that mathematics was indispensable for our best scientific theories, and therefore should be accepted as a body of truths talking about independently existing entities, Field suggested that mathematics was dispensable, and therefore should be considered as a body of falsehoods not talking about anything real. He did this by giving a complete axiomatization of [[:en:Newtonian mechanics|Newtonian mechanics]] that didn't reference numbers or functions at all. He started with the "betweenness" of [[:en:Hilbert's axioms|Hilbert's axioms]] to characterize space without coordinatizing it, and then added extra relations between points to do the work formerly done by [[:en:vector field|vector field]]s. Hilbert's geometry is mathematical, because it talks about abstract points, but in Field's theory, these points are the concrete points of physical space, so no special mathematical objects at all are needed.

訳注：「間にある」は『岩波 数学辞典 第4版』80Bから。

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どのように数学を使うことなく科学を行うかを明らかにして、彼は、数学を役に立つフィクションという地位に復権させた。彼の示したところによれば、数学的物理学は、彼の非数学的物理学の保守的な拡大（{{lang-en-short|[[:en:conservative extension|conservative extension]]}}）の一つであり（つまり、数学的物理学で証明可能なすべての物理的事実は、彼の非数学的物理学体系ですでに証明可能であり）、数学はその物理的現象への応用がすべて真であるような信頼できるプロセスではあるが、それ自体の言明は偽なのである。したがって、私たちが数学を行うとき、万が一、数が存在するならばと、私たちは自分たちがある種の物語を語っているにすぎない。フィールドにとって、ちょうど「[[シャーロック・ホームズ]]は[[ベーカー街221B]]に住んでいる」という言明が偽なのと同じように、「2 + 2 = 4」といった言明は偽なのである —もっとも、これらの両方の言明とも、適切なフィクションにもとづけば真ではあるが。

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Having shown how to do science without using mathematics, he proceeded to rehabilitate mathematics as a kind of [[:en:useful fiction|useful fiction]]. He showed that mathematical physics is a [[:en:conservative extension|conservative extension]] of his non-mathematical physics (that is, every physical fact provable in mathematical physics is already provable from his system), so that the mathematics is a reliable process whose physical applications are all true, even though its own statements are false. Thus, when doing mathematics, we can see ourselves as telling a sort of story, talking as if numbers existed. For Field, a statement like "2 + 2 = 4" is just as false as "[[:en:Sherlock Holmes|Sherlock Holmes]] lived at 221B Baker Street" — but both are true according to the relevant fictions.

 

 

いろいろ考えたが、ひとまず、conservative extension は「保守的な拡大」と訳した。

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この説明によれば、数学だけに特有の形而上学的または認識論的な問題は存在しない。残された問題は、非数学的物理学についての一般的な問題と、[[フィクション]]一般についての問題だけなのである。フィールドのアプローチは非常に影響力があったが、今日では広く拒絶されている。これは、一つには、フィールドの還元を行うために[[二階述語論理|二階の論理]]の強い断片（{{lang-en-short|strong fragments}}）が必要とされるからであり<!-- この部分、自信なし。 -->、また彼の保守的な理論の言明は抽象的なモデルや演繹に対して[[量化]]を必要とするように思えるからである。他の異議としては、量子論や周期表のようないくつかの科学の成果を、数学なしでどのように得ることができるのかはっきりしない、というものがある。もし、ある元素を他の元素と区別するものが電子や中性子、陽子の数に他ならないならば、どのようにして数の概念なしに元素を区別すればよいのだろうか？{{要出典|date=2008年10月}}

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By this account, there are no metaphysical or epistemological problems special to mathematics. The only worries left are the general worries about non-mathematical physics, and about [[:en:fiction|fiction]] in general. Field's approach has been very influential, but is widely rejected. This is in part because of the requirement of strong fragments of [[second-order logic]] to carry out his reduction, and because the statement of conservativity seems to require [[quantification]] over abstract models or deductions. Another objection is that it is not clear how one could have certain results in science, such as quantum theory or the periodic table, without mathematics. If what distinguishes one element from another is ''precisely'' the number of electrons, neutrons and protons, how does one distinguish between elements without a concept of number?{{Or|date=April 2008}}

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=== 身体化理論<!-- Embodied mind theories --> ===

身体化理論（{{lang-en-short|Embodied mind theories}}）によれば、数学的思考は我々の物理的世界に存する認知器官の自然な派生物である。例えば、[[数]]という抽象的な概念は、離散的な対象を数えるという経験に源を持つ。数学は普遍的ではないし、いかなる本当の意味でも人間の脳の中以外には存在するわけではない、とする。数学は、人間によって発見されたのではなく、人間によって構築されたのである。

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''Embodied mind theories'' hold that mathematical thought is a natural outgrowth of the human cognitive apparatus which finds itself in our physical universe. For example, the abstract concept of [[:en:number|number]] springs from the experience of counting discrete objects. It is held that mathematics is not universal and does not exist in any real sense, other than in human brains. Humans construct, but do not discover, mathematics.

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したがって、この観点においては、物理的宇宙はまた数学の究極的な基礎と見なされる。それは、脳の進化を導き、脳がどのような問題について調査する価値を見出すのかを決定した。しかし、人間の心には殊さら実在性を要求する傾向も、数学をもとにして作り出された実在性への特別な接近法も持ってはいない。[[オイラーの等式]]のような構成物が真であるとすれば、それらは人間の心と[[認識]]の写像として真なのである。

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With this view, the physical universe can thus be seen as the ultimate foundation of mathematics: it guided the evolution of the brain and later determined which questions this brain would find worthy of investigation. However, the human mind has no special claim on reality or approaches to it built out of math. If such constructs as [[:en:Euler's identity|Euler's identity]] are true then they are true as a map of the human mind and [[:en:cognition|cognition]].

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したがって、身体化理論は、数学の有効性を、数学は脳によってこの宇宙で有効であるようにと構築されたからであると説明する。

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Embodied mind theorists thus explain the effectiveness of mathematics ― mathematics was constructed by the brain in order to be effective in this universe.

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この視点による有名な論述は、[[ジョージ・レイコフ]]と{{仮リンク|ラファエル・ヌニェス (数学者)|en|Rafael E. Núñez|label=ラファエル・ヌニェス}}（[[:en:Rafael E. Núñez|Rafael E. Núñez]]）の『数学の認知科学』''[[:en:Where Mathematics Comes From|Where Mathematics Comes From]]''である。加えて、数学者キース・デヴリン（[[:en:Keith Devlin|Keith Devlin]]）も、著書『数学的本能』''[[:en:The Math Instinct|The Math Instinct]]''において、似たようなコンセプトを検討した。この視点から喚起されたさらなる哲学的なアイデアについては、[[数学の認知科学]]（{{lang-en-short|[[:en:cognitive science of mathematics|cognitive science of mathematics]]}}）を参照のこと。

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The most accessible, famous, and infamous treatment of this perspective is ''[[:en:Where Mathematics Comes From|Where Mathematics Comes From]]'', by [[:en:George Lakoff|George Lakoff]] and [[:en:Rafael E. Núñez|Rafael E. Núñez]]. In addition, mathematician [[:en:Keith Devlin|Keith Devlin]] has investigated similar concepts with his book ''[[:en:The Math Instinct|The Math Instinct]]''. For more on the philosophical ideas that inspired this perspective, see [[:en:cognitive science of mathematics|cognitive science of mathematics]].

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[[社会構築主義]]や社会的実在論の理論では、数学をなによりまず'''社会的構築物'''として見る。つまり、文化によって変化や変更が行われる生産物と見る。自然科学の他の部門と同じく、数学もまたひとつの経験的試みであり、その成果は絶えず検証され、場合によっては放棄されるかもしれないとされる。とはいえ、経験主義的には検証とは「現実」とある種の比較を行うことであるのに対して、社会構築主義が強調するのは、社会集団における研究上の流行や研究に資金供給する社会の必要に応じて数学研究の方針が決定されるこということである。ただし、こうした外部的な力によってある種の数学研究が変えられてしまうということがあるにせよ、数学的な伝統、方法、問題、意味や価値といった数学者たちが文化適応しているさまざまな内的制約もまた、数学という歴史的に決定された学問分野を保持していく上で、強力に働いている。

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''Social constructivism'' or ''social realism'' theories see mathematics primarily as a [[:en:Social construct|social construct]], as a product of culture, subject to correction and change. Like the other sciences, mathematics is viewed as an empirical endeavor whose results are constantly evaluated and may be discarded. However, while on an empiricist view the evaluation is some sort of comparison with "reality", social constructivists emphasize that the direction of mathematical research is dictated by the fashions of the social group performing it or by the needs of the society financing it. However, although such external forces may change the direction of some mathematical research, there are strong internal constraints — the mathematical traditions, methods, problems, meanings and values into which mathematicians are enculturated — that work to conserve the historically defined discipline.

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以上の考え方は、現場の数学者たちが従来感じてきた、数学とはいずれにせよ純粋ないし客観的なものであるという信念とは相容れない。しかし、社会構築主義の立場からすれば、数学の基礎には実際にはかなり不確実なものがある。数学的実践 ([[:en:Mathematical practice|mathematical practice]]) が変化すると、かつての数学の地位に疑問が投げかけられ、現在の数学者たちの共同体によって要求ないし要望される水準に変更される。解析学の発達がライプニッツやニュートンの微積分法の再検討から生まれたとき、こういう変化が起こったと言える。社会構築主義の立場からは、さらに、完成された数学が大きすぎる地位を与えられていることが多いのに対して、まだしっかりとした証明をされていないいわゆるフォーク数学 ([[:en:Mathematical folklore|folk mathematics]]) の方は、公理的証明や数学的実践における[[査読|ピア・レビュー]]に重きを置きすぎているせいで、十分に評価されない。しかしそれでは、厳密に証明された成果が強調されすぎていると言っているだけに思えるかもしれない。残りはすべて混乱して不確実だ、というわけである。

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This runs counter to the traditional beliefs of working mathematicians, that mathematics is somehow pure or objective. But social constructivists argue that mathematics is in fact grounded by much uncertainty: as [[:en:Mathematical practice|mathematical practice]] evolves, the status of previous mathematics is cast into doubt, and is corrected to the degree it is required or desired by the current mathematical community. This can be seen in the development of analysis from reexamination of the calculus of Leibniz and Newton. They argue further that finished mathematics is often accorded too much status, and [[:en:Folk mathematics|folk mathematics]] not enough, due to an over-emphasis on axiomatic proof and peer review as practices. However, this might be seen as merely saying that rigorously proven results are overemphasized, and then "look how chaotic and uncertain the rest of it all is!"

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数学が社会的なものであるということが最も明白なのは、数学の[[サブカルチャー]]に当たる分野である。主要な発見がある数学部門で行われ、他の数学部門にも関連しているということがありうる。それでも、数学者たちの間に社会的繋がりがなければ、関係は発見されないままになる。社会構築主義の立場からは、それぞれの部門はそれぞれ認識共同体 ([[:en:Epistemic community|epistemic community]]) を形成しており、コミュニケーションをしたり数学の様々な分野を横断する統一理論 ([[:en:Unifying theories in mathematics|unifying theories]]) を研究しようと考えたりするのは大変難しいと言える。社会構築主義の立場からは「数学をする」というプロセスは現実に意味を作りだすことなのである。他方、社会実在論の立場からは、人間の[[抽象化|抽象化能力]]や人間の[[認知バイアス]]や数学者たちの[[集団的知性]]の不足によって、数学的対象という実在世界の理解が妨げられているとされる。社会構築主義では、数学の基礎の探求は失敗せざるを得ないし、無駄かつ無意味であるとして拒絶されることもある。社会科学者によっては、[[人種差別]]や[[エスノセントリズム]]の影響を受けているとする説もある。これらの考え方の中には[[ポストモダン|ポストモダニズム]]に近いものもある。

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The social nature of mathematics is highlighted in its [[:en:Subculture|subculture]]s. Major discoveries can be made in one branch of mathematics and be relevant to another, yet the relationship goes undiscovered for lack of social contact between mathematicians. Social constructivists argue each speciality forms its own [[:en:Epistemic communicty|epistemic community]] and often has great difficulty communicating, or motivating the investigation of [[:en:Unifying conjecture|unifying conjecture]]s that might relate different areas of mathematics. Social constructivists see the process of "doing mathematics" as actually creating the meaning, while social realists see a deficiency either of human capacity to abstractify, or of human's [[:en:Cognitive bias|cognitive bias]], or of mathematicians' [[:en:Collective intelligence|collective intelligence]] as preventing the comprehension of a real universe of mathematical objects. Social constructivists sometimes reject the search for foundations of mathematics as bound to fail, as pointless or even meaningless. Some social scientists also argue that mathematics is not real or objective at all, but is affected by [[:en:Racism|racism]] and [[:en:Ethnocentrism|ethnocentrism]]. Some of these ideas are close to [[:en:Postmodernism|postmodernism]].

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社会構築主義への寄与は[[イムレ・ラカトシュ]]やトマス・ティモチコ<!--読み方違うかも--> ([[:en:Thomas Tymoczko|Thomas Tymoczko]]) によって行われてきたが、両者を社会構築主義者と呼んでよいかは異論もある。もっと最近では[[ポール・エルネスト]]が社会構築主義的な数学の哲学を明白に定式化している[http://www.people.ex.ac.uk/PErnest/pome12/article2.htm]。[[ポール・エルデシュ]]の仕事が全体として社会構築主義を進歩させたと考える者もいる（ただし本人は社会構築主義を否定している）。[[エルデシュ数]]などを通じて、「数学が社会的活動である」ということの研究へと人々を促したという点で、エルデシュの広範な寄与は唯一無二のものだからである。[[ルーベン・ハーシュ]]もまた社会的な数学観を奨励し、それを「人文主義的」(humanistic) アプローチと呼んだ[http://edge.org/documents/archive/edge5.html]。これはアルヴィン・ホワイトのアプローチに似ているが、細部は異なる[http://mathforum.org/mathed/humanistic.math.html]。ハーシュと共著を記した[[フィリップ・J・デイヴィス]]もまた社会構築主義的な数学観に賛同していることを表明している。

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Contributions to this school have been made by [[:en:Imre Lakatos|Imre Lakatos]] and [[:en:Thomas Tymoczko|Thomas Tymoczko]], although it is not clear that either would endorse the title. More recently [[:en:Paul Ernest|Paul Ernest]] has explicitly formulated a social constructivist philosophy of mathematics. [http://www.people.ex.ac.uk/PErnest/pome12/article2.htm] Some consider the work of [[:en:Paul Erdős|Paul Erdős]] as a whole to have advanced this view (although he personally rejected it) because of his uniquely broad collaborations, which prompted others to see and study "mathematics as a social activity", e.g., via the [[:en:Erdős number|Erdős number]]. [[:en:Reuben Hersh|Reuben Hersh]] has also promoted the social view of mathematics, calling it a "humanistic" approach [http://edge.org/documents/archive/edge5.html], similar to but not quite the same as that associated with Alvin White [http://mathforum.org/mathed/humanistic.math.html]; one of Hersh's co-authors, [[:en:Philio J. Davis|Philip J. Davis]], has expressed sympathy for the social view as well.

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社会構築主義アプローチへの批判は、それが些事にばかり執着し、数学が人間の営みであるという当たり前の説を基礎にしているということである。厳密でない推測や実験や考察をしてからでなければ厳密な証明はできないという指摘は正しいが、それは自明のことであって、誰も否定しようとはしない。だとすれば、そんな仕方で、陳腐な真実に基づいて数学の哲学を特徴づけるのは筋違いというものである。[[カール・ワイエルシュトラス]]のような数学者たちが諸定理を一から証明しようとしたとき、ライプニッツやニュートンの微積分法が再検討された。そこには一切特別なことも興味深いこともない。それはもっと一般的な、厳密でないものの考え方の[[トレンド]]と合致しているからであり、こうした考え方が後になって厳密化される。数学研究の対象と、数学研究の対象の研究とを明確に区別すべきである。おそらく前者は大幅に変化しない。後者は絶えず変動している。社会理論が論じるのは後者であり、[[#プラトニズム|プラトニズム]]等が論じるのは前者である。

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A criticism of this approach is that it is trivial, based on the trivial observation that mathematics is a human activity. To observe that rigorous proof comes only after unrigorous conjecture, experimentation and speculation is true, but it is trivial and no-one would deny this. So it's a bit of a stretch to characterize a philosophy of mathematics in this way, on something trivially true. The calculus of Leibniz and Newton was reexamined by mathematicians such as Weierstrass in order to rigorously prove the theorems thereof. There is nothing special or interesting about this, as it fits in with the more general trend of unrigorous ideas which are later made rigorous. There needs to be a clear distinction between the objects of study of mathematics and the study of the objects of study of mathematics. The former doesn't seem to change a great deal; the latter is forever in flux. The latter is what the Social theory is about, and the former is what Platonism et al. are about.

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しかし、社会構築主義的な立場の支持者からはこういう批判は門前払いされている。なぜならそうした批判は、数学の対象そのものが社会的構築物であることに気づいていないからである。社会構築主義によれば、こうした対象はなによりまず、人間の文化の領域に存在する[[記号学]]的な対象なのであり、（[[ルートヴィヒ・ウィトゲンシュタイン|ウィトゲンシュタイン]]的に言えば）物理的形態を与えられた[[記号]]を用いて個体内に（心的な）構築物を生じさせるという社会的実践によって維持される。社会構築主義が考察しているのは、人間の文化の領域がプラトニズムの王国やその他の物理世界を超えた天国的な存在領域に物化されるということなのであり、それは長らく慣習的に続いてきた[[カテゴリー錯誤]]なのである。

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However, this criticism is rejected by supporters of the [[:en:Social constructivist|social constructivist]] perspective because it misses the point that the very objects of mathematics are social constructs. These objects, it asserts, are primarily [[:en:Semiotic|semiotic]] objects existing in the sphere of human culture, sustained by social practices (after [[:en:Wittgenstein|Wittgenstein]]) that utilize physically embodied [[:en:Signs|signs]] and give rise to intrapersonal (mental) constructs. Social constructivists view the [[:en:Reification|reification]] of the sphere of human culture into a [[:en:Platonic|Platonic]] realm, or some other heaven-like domain of existence beyond the physical world, a long standing [[:en:Category error|category error]].

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1960年代から1990年代になると、数学がなぜ役に立つのかということに対して基礎付けや正しい解答を探そうとする考え方が本当は違うのではないか、と考える運動が、数学における[[真理]]が何を意味するのかをめぐる精密な議論や[[証明]]のような数学者に特有の営みに焦点を当てることに代わって成長した。出発点となったのは、物理学者の[[ユージン・ウィグナー]]の名高い1960年の論文「自然科学における数学の不合理な有効性」''The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences''であった。ウィグナーはこの論文において、数学と物理学の幸福な合致は、大変よく調和しているが、不合理であり説明しがたいと思われると述べている。

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Rather than focus on narrow debates about the true nature of mathematical [[:en:truth|truth]], or even on practices unique to mathematicians such as the [[:en:mathematical proof|proof]], a growing movement from the 1960s to the 1990s began to question the idea of seeking foundations or finding any one right answer to why mathematics works. The starting point for this was [[:en:Eugene Wigner|Eugene Wigner]]'s famous 1960 paper ''[[:en:The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences|The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences]]'', in which he argued that the happy coincidence of mathematics and physics being so well matched seemed to be unreasonable and hard to explain.

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生得理論や認知言語学といった学派はこうした疑義に対する返答であるが、提起された議論をこれらの学派に限定することは難しい。

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The embodied-mind or cognitive school and the social school were responses to this challenge, but the debates raised were difficult to confine to those.

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同様の事柄のうち、実際には既存の学派に直接反対しているわけではないが、既存学派が焦点にしている考え方に疑義を唱えているのが、数学における準経験論の観念である。この観念は、[[数学基礎論|数学の基礎付け]]が存在するという証明は決してできないであろうという20世紀後半に次第に一般的になっていた確信から生まれた。これは数学におけるポストモダニズムと呼ばれることもあるが、この用語は論者によって濫用されていたり中傷の的になっていることは否めない。準経験論によれば、数学者は研究を行う際に、定理の証明だけではなく仮説の検証も行っている。数学的論証は、前提から結論に至る真理を伝えることもできるし、結論から前提に至る虚偽を伝えることもある。[[イムレ・ラカトシュ]]は[[カール・ポパー]]の科学哲学に示唆を受けて、準経験論を発展させた。

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One parallel concern that does not actually challenge the schools directly but instead questions their focus is the notion of [[:en:quasi-empiricism in mathematics|quasi-empiricism in mathematics]]. This grew from the increasingly popular assertion in the late 20th century that no one [[:en:foundation of mathematics|foundation of mathematics]] could be ever proven to exist. It is also sometimes called "postmodernism in mathematics" although that term is considered overloaded by some and insulting by others. Quasi-empiricism argues that in doing their research, mathematicians test hypotheses as well as proving theorems. A mathematical argument can transmit falsity from the conclusion to the premises just as well as it can transmit truth from the premises to the conclusion. [[:en:Quasi-empiricism|Quasi-empiricism]] was developed by [[:en:Imre Lakatos|Imre Lakatos]], inspired by the philosophy of science of [[:en:Carl Popper|Carl Popper]].

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イムレ・ラカトシュの数学の哲学は、一種の社会構築主義と見られることもあるが、本人はそれを意図していたわけではなかった。

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[[:en:Imre Lakatos|Lakatos]]' philosophy of mathematics is sometimes regarded as a kind of social constructivism, but this was not his intention.

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こうした方法はつねにフォーク数学の一部であった。フォーク数学によって偉大な計算・測定の作業が行われることがある。実際、文化によっては証明とはこうした方法のことである場合もある。

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Such methods have always been part of [[:en:folk mathematics|folk mathematics]] by which great feats of calculation and measurement are sometimes achieved. Indeed, such methods may be the only notion of proof a culture has.

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かつて[[ヒラリー・パトナム]]は、数学的実在論の立場にたつなら、どんな理論でも準経験論的方法を含まざるをえないと述べたことがある。パトナムによれば、はじめて数学をしてみた宇宙人は、まず準経験論的方法に頼るのであって、できれば厳密で公理的な証明は差し控えたいと思うのではないか、そして、それでもなお数学を行っていることになるのではないか、と想像している。ことによると、彼らが計算を誤る危険はほんの少し大きいかもしれないが。この点の詳細な論証はThomas Tymockzo (ed), ''New Directions in the Philosophy of Mathematics. An Anthology'', 1998に掲載されたパトナムの論文"What Is Mathematical Truth?"を参照。

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[[:en:Hilary Putnam|Hilary Putnam]] has argued that any theory of mathematical realism would include quasi-empirical methods. He proposed that an alien species doing mathematics might well rely on quasi-empirical methods primarily, being willing often to forgo rigorous and axiomatic proofs, and still be doing mathematics — at perhaps a somewhat greater risk of failure of their calculations. He gave a detailed argument for this in ''New Directions'' (ed. Tymockzo, 1998).

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数学的記号法や数学的文化をよく理解して、旧来の[[形而上学]]的観念を上記の学派の特殊な形而上学的観念と結びつけることができるまでになる哲学者は多くない。ややもすればこのことは数学者と哲学者の断絶を生んでしまう。この断絶ゆえに、数学者たちの中には信用に値しない哲学をいつまでも公言し続ける者もいる。そうした方が、おのれの仕事を活性化してくれる世界観があるはずだと信じる彼ら数学者たちの不断の信念に適うからであろう。

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Few philosophers are able to penetrate mathematical notations and culture to relate conventional notions of [[:en:metaphysics|metaphysics]] to the more specialized metaphysical notions of the schools above. This may lead to a disconnection in which some mathematicians continue to profess discredited philosophy as a justification for their continued belief in a world-view promoting their work.

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社会理論や準経験論、中でも生得理論は、現場の数学者の営みが包含している[[認識論|特有の認識の仕方]]にもっと目を向けようと試みたのであったが、実際のところ、この認識論を日常的な人間の[[知覚]]や日々行われる[[知識]]習得と関連づけるまでは行かなかった。

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Although the social theories and quasi-empiricism, and especially the embodied mind theory, have focused more attention on the [[:en:epistemology|epistemology]] implied by current mathematical practices, they fall far short of actually relating this to ordinary human [[:en:perception|perception]] and everyday understandings of [[:en:knowledge|knowledge]].

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20世紀の[[言語哲学]]の革新は、数学がしばしば言われるように科学の「言語」であるかどうかという問題への関心を新たにさせた。数学者や物理学者の多くは（また多くの哲学者も）「数学は言語である」という言明を正しいものと認めているが、[[言語学者]]は、この種の言明の意味を検討しなければならないと考えている。例えば、[[言語学]]が用いる道具は数学の記号体系全般には適用されない。すなわち数学は他の言語とは著しく異なる仕方で研究される。たとえ数学が言語であるとしても、それは[[自然言語]]とは異なるタイプの言語である。実際、数学という言語は明確かつ特定の意味を担わなくてはいけないから、言語学者が研究する自然言語よりも遥かに窮屈である。しかしながら、フレーゲとタルスキが数学的言語の研究のために案出した方法が、タルスキの学生であった[[リチャード・モンタギュー]]や[[形式意味論]]の分野で研究している他の言語学者たちによって大幅に発展し、数学的言語と自然言語との違いは見かけほど大きくないかもしれないということを明らかにしている。

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Innovations in the [[:en:philosophy of language|philosophy of language]] during the 20th century renewed interest in whether mathematics is, as if often said, the ''language'' of science. Although most mathematicians and physicists (and many philosophers) would accept the statement "[[:en:mathematics as a language|mathematics is a language]]", linguists believe that the implications of such a statement must be considered. For example, the tools of [[:en:linguistics|linguistics]] are not generally applied to the symbol systems of mathematics, that is, mathematics is studied in a markedly different way than other languages. If mathematics is a language, it is a different type of language than [[:en:natural languages|natural languages]]. Indeed, because of the need for clarity and specificity, the language of mathematics is far more constrained than natural languages studied by linguists. However, the methods developed by Frege and Tarski for the study of mathematical language have been extended greatly by Tarski's student [[:en:Richard Montague|Richard Montague]] and other linguists working in [[:en:formal semantics|formal semantics]] to show that the distinction between mathematical language and natural language may not be as great as it seems.

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{{See also|言語哲学}}

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See also [[:en:philosophy of language|philosophy of language]].

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多くの現場の数学者は、自分が課題とするテーマに対してある種の[[数学的な美|美的感覚]]を感じるがゆえに、そのテーマに惹き付けられている。哲学は哲学者に任せ、数学者は数学に帰ろうという意見を時折聞くが、それはおそらく、数学の美がそこにあるからなのである。

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Many practising mathematicians have been drawn to their subject because of a sense of [[:en:mathematical beauty|beauty]] they perceive in it. One sometimes hears the sentiment that mathematicians would like to leave philosophy to the philosophers and get back to mathematics — where, presumably, the beauty lies.

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H・E・ハントリーは著書『[[黄金比]]』で、他人によって数学上の定理が証明されるのを読んだり理解したりしたいという感情は、芸術の傑作を鑑賞したいという気持ちに通じると述べている。証明を読む読者は、その証明を行った元々の著者と同じように理解できたとき、著者に負けない爽快さを感じる。ハントリーによればそれは、芸術の鑑賞者が、その作品を描いた画家や造形した彫刻家と同様の爽快さを感じるのと同じようなものなのである。実際、数学や科学の著作を[[文学]]に対するような仕方で研究することができる。

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In his work on the [[:en:divine proportion|divine proportion]], H. E. Huntley relates the feeling of reading and understanding someone else's proof of a theorem of mathematics to that of a viewer of a masterpiece of art — the reader of a proof has a similar sense of exhilaration at understanding as the original author of the proof, much as, he argues, the viewer of a masterpiece has a sense of exhilaration similar to the original painter or sculptor. Indeed, one can study mathematical and scientific writings as [[:en:literature|literature]].

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[[フィリップ・J・デイヴィス]]と[[ルーベン・ハーシュ]]は、[[数学的な美|数学的美]]の感覚は現場の数学者たちにとって普遍的なものであると述べている。例えば、数学者たちが[[2の平方根|√2]]が[[無理数]]であることを証明する仕方には2種類ある。第1のやり方は[[エウクレイデス]]（ユークリッド）によって始められた伝統的な証明法で、[[背理法]]を用いる。第2のやり方は[[算術の基本定理]]に関連するもっと直接的な証明法であるが、デイヴィスとハーシュによれば、これが問題の核心を衝くものである。つまり、第1の証明法より第2の証明法の方が問題の本質に近いがゆえに、数学者たちは後者の方を美的関心をそそられる。

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[[:en:Philip J. Davis|Philip J. Davis]] and [[:en:Reuben Hersh|Reuben Hersh]] have commented that the sense of mathematical beauty is universal amongst practicing mathematicians. By way of example, they provide two proofs of the irrationality of the [[:en:Square root of 2|√2]]. The first is the traditional proof by [[:en:contradiction|contradiction]], ascribed to [[:en:Euclid|Euclid]]; the second is a more direct proof involving the [[:en:fundamental theorem of arithmetic|fundamental theorem of arithmetic]] that, they argue, gets to the heart of the issue. Davis and Hersh argue that mathematicians find the second proof more aesthetically appealing because it gets closer to the nature of the problem.

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[[ポール・エルデシュ]]の有名な例では、最もエレガントないし最も美的な数学的証明が掲載された一冊の「本」があると仮定されている。結果として「最もエレガント」な証明が一つであるかどうかは、意見が分かれる。[[グレゴリー・チャイティン]]はこの考えに反対している。

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[[:en:Paul Erdős|Paul Erdős]] was well-known for his notion of a hypothetical "Book" containing the most elegant or beautiful mathematical proofs. There is not universal agreement that a result has one "most elegant" proof; [[:en:Gregory Chaitin|Gregory Chaitin]] has argued against this idea.

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数学者の美的感覚やエレガントさの感覚はどう見ても曖昧模糊としているという批判が哲学者たちによって何度も行われてきた。とはいえ、数学の哲学者も同様に、2つの証明がどちらも論理的に正しい場合、どちらかが他方より望ましいと言える理由は何かを探し求めてきた。

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Philosophers have sometimes criticized mathematicians' sense of beauty or elegance as being, at best, vaguely stated. By the same token, however, philosophers of mathematics have sought to characterize what makes one proof more desirable than another when both are logically sound.

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数学に関する美学のもう一つの側面は、非倫理的とか不穏当とされる目的のために数学を使うことができるということに対する数学者の見解である。この見解を説明したものの中で最も有名なのは、[[ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ|G・H・ハーディ]]の著書『一数学者の弁明』に見出される。ハーディによれば、[[純粋数学]]は戦争その他の目的のために用いることができないがゆえに、[[応用数学]]よりも美的に優れている。

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Another aspect of aesthetics concerning mathematics is mathematicians' views towards the possible uses of mathematics for purposes deemed unethical or inappropriate. The best-known exposition of this view occurs in [[:en:G.H. Hardy|G.H. Hardy]]'s book [[:en:A Mathematician's Apology|A Methematician's Apology]], in which Hardy argues that pure mathematics is superior in beauty to [[:en:applied mathematics|applied mathematics]] precisely because it cannot be used for war and similar ends. Some later mathematicians have characterized Hardy's views as mildly dated{{要出典|date=2007年2月}}, with the applicability of number theory to modern-day [[:en:cryptography|cryptography]]. While this would force Hardy to change his primary example if he were writing today, many practicing mathematicians still subscribe to Hardy's general sentiments.{{要出典|date=2007年2月}}

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哲学の数学とは、数学の一分野で、数学的方法を用いて哲学的問題にアプローチしようとするものである。

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Mathematics of philosophy is the branch of mathematics which, with mathematic methods, attempts to approach philosophic matters.

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例えば[[功利主義]]では、様々な状況のもとで行うべき最善の行動が何かを明らかにするために、快楽と苦痛という名の[[物理単位|計測単位]]を用いて、いろいろな複雑な公式を作ったりする。

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For instance, in [[utilitarism]], the [[units of measurement]]s called [[hedons and dolor]]s may be used in formulas of various complexity in order to get to what is the best action to do in different situations.

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