「六角数」の版間の差分

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数式を修正。
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:H<sub>1</sub> = 1 , H<sub>n+1</sub> = H<sub>n</sub> + 4n + 1
が導かれる。よって六角数の式は
:<math>H_n = H_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k + 1) = n(2n-1) \quad (n \gegeqq 2)</math><br>
これは ''n'' = 1 のときも成り立つ。六角数を小さいものから順に列記すると
:[[1]], [[6]], [[15]], [[28]], [[45]], [[66]], [[91]], [[120]], [[153]], [[190]], [[231]], [[276]], [[325]], [[378]], [[435]], [[496]], [[561]], [[630]], [[703]], [[780]], [[861]], [[946]], …({{OEIS|A384}})
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ただし1791よりも大きな自然数は4つの六角数の和で表すことができ、十分に大きい自然数は3つの六角数の和で表すことができる。6つの六角数が必要な数は[[11]]と[[26]]の二つのみで次のような和の形で表される。11=1+1+1+1+1+6 、26=1+1+6+6+6+6
 
六角数の[[逆数]]の[[総和]]は以下のようになる。{{math|ln}}は[[自然対数]]とする。
:<math>\begin{align} \sum_{nk=1}^{\infty} \frac{1}{nk(2n2k-1)} &= \lim_{n \to \infty}2\sum_{nk=1}^{\inftyn} \left(\frac{1}{2n2k-1} - \frac{1}{2n2k} \right)\\ &= 2\lim_{n \left(to \infty}2\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2k-1} + \frac{1}{2k} - \frac{1}{2k} \right)+\\ &= 2 \lim_{n \to \infty}\left(\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{3k} - \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{4k} \right)\\ + \cdots \right)\\ &= 2 \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k} \\ &= 2 \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}\\ &= 2 \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}dx \\ &= 2 [ \ln(1+x) ]_{0}^{1} \\ &= 2 \ln{2}\\
& \approx{1.386294}\cdots\\
\end{align}</math>
 
== 関連項目 ==
{{Div col}}
* [[多角数]]
* [[三角数]]
* [[多角数]]
{{Div col end}}
 
== 外部リンク ==