「コーシー=シュワルツの不等式」の版間の差分

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== 定理の内容といくつかの事実 ==
''x'' や ''y'' が[[実数|実]]または[[複素数|複素]][[内積空間]] {{math|(''X'', ⟨{{bra-ket|•, |•⟩}})}} の元であるとき、シュワルツの不等式は次のように述べられる:
シュワルツの不等式は次のように述べられる:
:<math>|\langle x,y\rangle|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle.</math>
左辺は内積 &lang;{{bra-ket|''x'', |''y''&rang;}} の[[絶対値]]の平方である。ここに、等号は ''x'' と ''y'' が[[線型従属]]であるとき、つまり ''x'', ''y'' のいずれか一方が 0 であるか、さもなくば一方が他方の適当なスカラー倍であるときであり、かつそのときに限る。内積の導くノルム |{{norm|''x''||}}<sup>2</sup> := &lang;{{bra-ket|''x'', |''x''&rang;}} を用いればこれは
: <math>|\langle x, y \rangle| \leq \Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert</math>
とも表せる。
 
コーシー・シュワルツの不等式の重要な帰結には、内積が2変数の関数と見て[[連続関数|連続]]であるということ、従って特にひとつのベクトル ''x'' を決めるごとに内積が一つの連続汎関数 &lang;{{bra-ket|''x'', |&bull;&rang;}} あるいは &lang;{{bra-ket|&bull;, |''x''&rang;}} を定めるということである。さらに、ベクトル ''x'' に対して汎関数 ''x''<sup>*</sup>: ''y'' &rarr; &lang;{{bra-ket|''y'', |''x''&rang;}} を与える対応が等長作用素になっていることも従う。
 
また、この定理の系として[[内積空間|内積ノルム]]に関する[[三角不等式]]
 
== 証明に関する話題 ==
定理には数多くの証明が知られている。
実内積空間におけるシュワルツの不等式の特徴的な証明の一つに、二次式とその判別式を用いるものがある。実際、&lang;''x'', ''y''&rang; なる内積を考えるとき、''t'' を実変数(あるいは任意の実定数)として
===判別式による証明===
実内積空間におけるシュワルツの不等式の特徴的な証明の一つに、二次式とその判別式を用いるものがある。実際、&lang;{{bra-ket|''x'', |''y''&rang;}} なる内積を考えるとき、''t'' を実変数(あるいは任意の実定数)として
: <math>0 \le \langle x + t|\langle x,y\rangle|y, x + t|\langle x,y\rangle|y \rangle = \langle x, x \rangle + 2 |\langle x, y \rangle|^2 t + |\langle x,y\rangle|^2 \langle y, y\rangle t^2</math>
は(内積の性質により)''t'' の如何にかかわらず成立する ''t'' の二次の絶対不等式となる。ゆえに、二次の絶対不等式に関してよく知られた事実により、この ''t'' に関する二次式の判別式
 
同じように二次式の判別式を用いる少し異なった証明がある:この証明では実数 ''t'' と絶対値 1 の複素数 &lambda; について
: &lang;{{bra-ket|''x'' + ''&lambda;''ty'', |''x'' + ''&lambda;''ty''&rang;}}
に対して同様の議論を行い、(Re&lang; {{bra-ket|''x'', |''&lambda;''y''&rang;}})<sup>2</sup> &minus; &lang;{{bra-ket|''x, ''|''x&rang;&lang;''}}{{bra-ket|''y'', |''y''&rang;}} が半負定値であることが導かれる。適当な ''&lambda;'' について Re&lang; {{bra-ket|''x'', |''&lambda;''y''&rang;}} = {{abs|{{bra-ket|&lang;''x'', |''y''&rang;|}}}} となっているので定理の主張が得られる。
 
===数学的帰納法による証明===
別の観点に立った証明として、直交射影の概念を用いる以下のものがある:|{{norm|''y''||}} = 0 のときは、''x'' と ''y'' との内積が 0 になり、問題の不等式は自明な形で等号として成立する。 |{{norm|''y''||}} &gt; 0 のときは、
: <math>t=\frac{\langle x,y\rangle}{\|y\|^2}</math>
に対して ''t y'' を ''x'' の ''y'' 方向への直交射影と見なすことができる。実際、この ''t'' について ''z'' := ''x'' - ''t y'' は ''y'' に直交している。
 
:<math>\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right)</math>
となるが、この不等式は ''n'' に関する数学的帰納法で証明することができる。各 <math>x_i,y_i</math> が負でない場合を示せばよい。''n'' = 1 のときは明らかに成立。''n'' = 2 のときは、
n=1のときは明らかに成立。n=2のときは、
:<math> (x_1^2+x_2^2)(y_1^2+y_2^2)-(x_1 y_1+x_2 y_2)^2=(x_1 y_2-x_2 y_1)^2\ge 0</math>
より成り立つ。''n'' = ''m'' で成立すると仮定する。''n'' = ''m'' + 1 のとき、
:<math>\left(\sum_{i=1}^{m+1} x_i y_i\right)^2=\left( \sum_{i=1}^m x_i y_i+x_{m+1} y_{m+1}\right)^2 </math>
:<math>\leq\left(\left(\sum_{i=1}^m x_i^2 \right)^\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^m y_i^2 \right)^\frac{1}{2}+x_{m+1} y_{m+1} \right)^2 </math> (∵帰納法の仮定より)
:<math>\leq\left(\sum_{i=1}^m x_i^2+x_{m+1}^2\right)\left(\sum_{i=1}^m y_i^2+y_{m+1}^2 \right)</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; (∵n∵''n''=2のときより)
:<math>=\left(\sum_{i=1}^{m+1}x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^{m+1}y_i^2\right) </math>
となって成立する。
というのがシュワルツの不等式を表している式である。これらは[[ヘルダーの不等式]]に一般化される。
 
== 関連項目 ==<!--項目の50音順-->
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*[[ヴィクトール・ブニャコフスキー]]
*[[オーギュスタン=ルイ・コーシー]]
*[[オットー・ヘルダー]]
*[[ヘルマン・アマンドゥス・シュワルツ]]
*[[三角不等式]]
*[[不等式]]
*[[ヘルダーの不等式]]
*[[ヘルマン・アマンドゥス・シュワルツ]]
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==脚注==
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==参考文献==
17,390

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