「コーシー＝シュワルツの不等式」の版間の差分

''x'' や ''y'' が[[実数|実]]または[[複素数|複素]][[内積空間]] {{math|(''X'', ⟨{{bra-ket|•, |•⟩}})}} の元であるとき、シュワルツの不等式は次のように述べられる：

左辺は内積 ⟨{{bra-ket|''x'', |''y''⟩}} の[[絶対値]]の平方である。ここに、等号は ''x'' と ''y'' が[[線型従属]]であるとき、つまり ''x'', ''y'' のいずれか一方が 0 であるか、さもなくば一方が他方の適当なスカラー倍であるときであり、かつそのときに限る。内積の導くノルム |{{norm|''x''||}}² := ⟨{{bra-ket|''x'', |''x''⟩}} を用いればこれは

コーシー・シュワルツの不等式の重要な帰結には、内積が2変数の関数と見て[[連続関数|連続]]であるということ、従って特にひとつのベクトル ''x'' を決めるごとに内積が一つの連続汎関数 ⟨{{bra-ket|''x'', |•⟩}} あるいは ⟨{{bra-ket|•, |''x''⟩}} を定めるということである。さらに、ベクトル ''x'' に対して汎関数 ''x''^*: ''y'' → ⟨{{bra-ket|''y'', |''x''⟩}} を与える対応が等長作用素になっていることも従う。

: ⟨{{bra-ket|''x'' + ''λ''ty'', |''x'' + ''λ''ty''⟩}}

に対して同様の議論を行い、(Re⟨ {{bra-ket|''x'', |''λ''y''⟩}})² − ⟨{{bra-ket|''x, ''|''x⟩⟨''}}{{bra-ket|''y'', |''y''⟩}} が半負定値であることが導かれる。適当な ''λ'' について Re⟨ {{bra-ket|''x'', |''λ''y''⟩}} = {{abs|{{bra-ket|⟨''x'', |''y''⟩|}}}} となっているので定理の主張が得られる。

別の観点に立った証明として、直交射影の概念を用いる以下のものがある：|{{norm|''y''||}} = 0 のときは、''x'' と ''y'' との内積が 0 になり、問題の不等式は自明な形で等号として成立する。 |{{norm|''y''||}} > 0 のときは、

となるが、この不等式は ''n'' に関する数学的帰納法で証明することができる。各 <math>x_i,y_i</math> が負でない場合を示せばよい。''n'' = 1 のときは明らかに成立。''n'' = 2 のときは、

より成り立つ。''n'' = ''m'' で成立すると仮定する。''n'' = ''m'' + 1 のとき、

:<math>\leq\left(\sum_{i=1}^m x_i^2+x_{m+1}^2\right)\left(\sum_{i=1}^m y_i^2+y_{m+1}^2 \right)</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; (∵n∵''n''=2のときより)

== 関連項目 ==<!--項目の50音順-->

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