「ニュートン法」の版間の差分

前節では回解の存在を仮定した上で初期値<math>x_0</math>を解の十分近くに選ぶことを要求した。これに対して、解の存在を仮定せず、初期値<math>x_0</math>がある条件を満たすときに解の存在と反復の収束を示す定理を半局所収束定理（Semi-Local Convergence Theorem）という。1次元の場合での半局所収束定理は[[オーギュスタン＝ルイ・コーシー|コーシー]]によって1829年に示され、<math>n</math>次元[[ユークリッド空間]]での場合はファイン（Fine）によって1916年に示された。その後、[[バナッハ空間]]での半局所収束定理が[[レオニート・カントロヴィチ|カントロビッチ]]（Kantorovich）によって1948年に示され、現代では[[:en:Kantorovich theorem|ニュートン-カントロビッチの定理]]と呼ばれている<ref>数値解析入門（増訂版）、山本哲郎、[[サイエンス社]]、2003年。</ref>。この定理にはいくつかの変種が知られており、<ref>J. Ortega & W. Rheinboldt, Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables, Academic Press (1970). </ref>にまとめられている。