「順序集合」の版間の差分
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=== 定義 ===
* {{mvar|x}} が {{mvar|A}} の'''上界'''（[[Wikt:resp.|resp.]] '''下界'''）: {{math|∀''y'' ∈ ''A'' : ''y'' ≤ ''x'' (resp. ''y'' ≥ ''x'')}}
* {{mvar|x}} が {{mvar|A}} の'''上限'''（resp. '''下限'''）: {{mvar|x}} は集合 {{math|{{(}}''y'' ∈ ''P'' {{!}} ''y''}} は {{mvar|A}} の上界（resp. 下界）{{math|{{)}}}} の最小元（resp. 最大元）▼
* {{mvar|x}} が {{mvar|A}} の'''最大元'''（resp. '''最小元'''）: {{mvar|x}} は {{mvar|A}} の元でしかも {{mvar|x}} は {{mvar|A}} の上界（resp. 下界）である
* {{mvar|x}} が {{mvar|A}} の'''極大元'''（resp. '''極小元'''）: {{mvar|x}} は {{mvar|A}} の元でしかも <math>y \gneqq x</math> (resp. <math>y \lneqq x</math>) を満たす {{math|''y'' ∈ ''A''}} が存在しない
▲* {{mvar|x}} が {{mvar|A}} の'''上限'''（resp. '''下限'''）: {{mvar|x}} は集合 {{math|{{(}}''y'' ∈ ''P'' {{!}} ''y''}} は {{mvar|A}} の上界（resp. 下界）{{math|{{)}}}} の最小元（resp. 最大元）
上界および上限の定義において、 {{mvar|x}} が {{mvar|A}} に必ずしも属
極大元の概念と最大元の概念は以下の点で異なる。まず {{mvar|x}} が {{mvar|A}} の極大元であるとは、{{mvar|A}} の元は「{{mvar|x}} 以下である」か、もしくは「{{mvar|x}} とは大小が比較不能である」かのいずれかである事を意味する。一方 {{mvar|x}} が {{mvar|A}} の最大元であるとは {{mvar|A}} の元は常に {{mvar|x}} 以下である事を意味する（このとき {{mvar|
さらに {{mvar|A}} が {{mvar|P}} の'''{{仮リンク|上方集合|en|upper set}}'''（resp. '''下方集合'''）であるとは、任意の {{math|''a'' ∈ ''A'' }} と {{math|''x'' > ''a'' }} (resp. {{math|''x'' < ''a''}}) を満たす任意の {{mvar|P}} の元に対し{{math|''x'' ∈ ''A'' }} となることをいう。
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