「ソボレフ空間」の版間の差分

ソボレフ空間の名称は[[ロシア人]][[数学者]]の[[セルゲイ・ソボレフ]]に因む。ソボレフ空間の重要性は、[[偏微分方程式]]の解というものはが古典的な意味での導函数を備える[[連続函数]]からなる古典的なの空間の中にではなく、むしろソボレフ空間の中にあるとして捉えたほうが自然であるという事実にある。

[[函数]]の滑らかさの基準にはいくつかの種類があり、最も基本的な基準はその[[連続函数|連続性]]である。より強い判定基準は[[可微分函数|可微分性]]であり（実際、可微分函数は常に連続となる）、さらに導函数の連続性をも込めれば（そのような函数は[[滑らかな函数| ''C''¹-級]]であるといわれる）より強い滑らかさの概念が与えられる。 可微分函数は多くの分野、特に[[微分方程式]]の理論において重要である。しかしながら[[20世紀]]に入ると、そのような ''C''¹-級（あるいは同様な ''C''², ... といった滑らかさのクラスに属する）函数の空間というものは、微分方程式のを研究するための空間として本当に適切なものとは言えないということ事が理解されるようになる。

ソボレフ空間はそのような偏微分方程式の解を求めるための空間の、現代的な代替物である。

まずは[[単位円]] '''T''' 上で定義される 1-次元（1-変数函数）の場合という最も単純な設定でソボレフ空間を導入することから始める。この場合のソボレフ空間 ''W''^''k'',''p'' は[[Lp空間| ''L''^''p''-空間]]の部分集合であって、''p'' ≥ 1 が与えられたとき函数 ''f'' とその[[弱微分]]が階数 ''k'' まで有限な[[Lpノルム| ''L''^''p''-ノルム]]を持つような函数 ''f'' の全体からなるものとして定義される。場合によっては微分を通常の強い意味での微分として扱うこともある。1-次元の問題においては''f'' の (''k''−1)-階導函数 ''f''^(''k''-1) が殆ど至る所微分可能で、その導函数の[[ルベーグ積分]]と殆ど至る所一致することを仮定すれば十分である（これによってりソボレフ空間の定義が目的とすることの狙いとは無関係な[[カントール函数]]のような例を除くことができる）。

この定義とともに、からソボレフ空間には自然な[[ノルム]]

で定義しても上と同値なノルムとなる（それどちらのノルムが定める距離位相がも同一という意味でじ）同値なノルムとなる。

''p'' = 2 に関するのソボレフ空間は、それが[[ヒルベルト空間]]を成すことや、し[[フーリエ級数]]と関係することから特に重要である。この場合に対して 、''H''^''k'' (= ''W''^''k'',2) という記法が用いられる。

空間 ''H''^''k'' は係数が十分急減少であるような[[フーリエ級数]]を用いて自然に定義することができる。つまり、

さらに言えば、空間 ''H''^''k'' には ''H''⁰ = ''L''² と同様の[[内積]]を入れることができる。事実として 際、''H''^''k''-内積は ''L''²-内積を用いて

簡単な記述を持つほかのソボレフ空間としては、たと例えば開区間 (0, 1) 上で[[絶対連続]]な函数全体の成す空間 ''W''^1,1(0, 1) や任意の区間 ''I'' 上で[[リプシッツ連続]]な函数全体の成す空間 ''W''^1,∞(''I'') などが挙げられる。

空間 ''W''^{''k'',∞} はすべて（ノルム付き）[[多元環]]となる。つまりこのソボレフ空間のふたつの函数の積はふたた再びこの空間の元となる。このことは ''p'' が有限の場合には正しくない（たと例えば原点において |''x''|^−1/3 のように振舞う函数は ''L''² に属するが、そのような函数の積は ''L''² に属さない）。