「指数積分」の版間の差分

[[数学]]において、'''指数積分'''（{{lang-en-short|exponential integral}}）{{math|Ei}} は[[指数関数]]を含む[[積分]]によって定義される[[関数 (数学)|特殊関数]]の一つである。

:<math>\operatorname{Ei}(x) = -\operatorname{p.\!v.}\int_{-x}^{\infty}}\frac{e^{-t}}{t}\,\operatorname{d}\!t = \operatorname{p.\!v.}\int_{-\infty}^{x}}\frac{e^{t}}{t}\,\operatorname{d}\!t</math>

この被積分関数は原点ただし {{math|''t'' {{=p.v.}} 0}} で[[極限|発散]]するが、実関数としての指数積分は[[コーシーの主値]]を表す。以下、本稿で定義さはこれるを {{math|Ei^real(x)}} で表す。

&\operatorname{{Ei}^{real}}(x) &= \lim_{\epsilon\to+0}\left(-\int_{-x}^{-\epsilon}\frac{e^{-t}}{t}\,\operatorname{d}\!t-\int_{\epsilon}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,\operatorname{d}\!t\right)\quad &(x>0)\\

&\operatorname{{Ei}^{real}}(x) &= -\int_{-x}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,\operatorname{d}\!t\quad &(x<0)\\

:<math>\operatorname{Ei}(z) = -\pi i + \int_{-z\infty-0i}^{\infty1-0i}\frac{e^{-t}}{t}\,\operatorname{d}\!t =+ \int_{-\infty1}^{z}\frac{e^{t}}{t}\,\operatorname{d}\!t</math>

これは[[多価関数]]であるが、本稿では正負の実軸で[[分岐点 (数学)|分枝切断]]を行い負正の実軸上で実数値をとるようにする。(文献によっては定義が異なる<ref>[http://mathworld.wolfram.com/ExponentialIntegral.html Wolfram Mathworld: Exponential Integral]</ref><ref>[http://eom.springer.de/I/i051440.htm SpringerLink: Integral exponential function]</ref>(文献によっては定義が異なる)

:<math>\operatorname{ImEi}(x\pm 0i) = \operatorname{{Ei}^{real}}(x))=0\pm\pi i \quad(x<0), \quad \operatorname{ImEi}(x) = \operatorname{{Ei}^{real}}(x\pm 0i))=\mp\pi i \quad(x>0)</math>

:<math>E_n(z)=\int_{1}^{\infty}\frac{e^{-xt}}{t^n}\,\operatorname{d}\!t = z^{n-1}\int_{z}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t^n}\,\operatorname{d}\!t</math>

:<math>E_1(z) =\int_{1}^{\infty}\frac{e^{-zt}}{t}\,\operatorname{d}\!t= \int_{z}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,\operatorname{d}\!t=-\operatorname{Ei}(-z)</math>

を {{math|Ei(''z'')}} と記すこともある。このときは次のように負の実軸で分枝切断を行うとる。

:<math>&\operatorname{Im}(E_n(x\pm 0i)) =0 \mp\pi(-x)^{n-1} i \quad(x><0), \quad \operatorname{Im}(E_n(x\pm 0i)) =\mp\pi(-x)^{n-1} i0 \quad(x<>0)</math> \\

[[正則複素関数]] {{math|Ein(''z'')}} を次のように定める。

が成り立つ。ただし{{mvar|&gamma;}}は[[オイラーの定数]]である。これにより {{math|E₁}}, {{math|Ei}} は

\operatorname{Ei}(z) &= \gamma+\log(- z)-\operatorname{Ein}(-z) \\

と表され、多価性にまつわる問題を[[複素対数関数]] {{math|log ''z''}} に封じ込めることができる。

上記の{{math|Ein(''z'')}} の被積分関数を[[テイラー展開して項別積分す]]は次のように与えられると。

\operatorname{Ein}(z) &= \int_{0}^{z} \fracsum_{k=1-e}^{\infty} \frac{(-t)^{k-1}}{tk!}\,\operatorname{d}\!t \\

\operatorname{Ein}(z) &= \int_{0}^{z} \frac{e^t{-t} \sum_{k=1}^{t\infty}e \frac{t^{k-t1}}{k!}\,\operatorname{d}\!t \\

&= \int_{0}e^{-z} \sum_{n=1}^{\infty} \fracleft(\sum_{tk=1}^{n-1}} \frac{n!1}e^{-tk}\,right) \operatornamefrac{dz^n}\{n!t} \\

\operatorname{Ein}(z) &= \sum_int_{n=10}^{\inftyz} \frac{1}{n} \left\{ 1 - e^{-zt/2} \sum_{k=0}^{n-1\infty} \frac{z(t/2)^k{2k}}{k(2k+1)!} \right,\operatorname{d}\!t \\

&= e^{-z/2} \sum_{n=1}^{\infty} \fracleft(\sum_{1k=0}{n} e^{\lfloor(n-z1)/2\rfloor} \sum_frac{k=n2}^{\infty2k+1}\right) \frac{(z/2)^kn}{kn!} \\

:<math>\operatorname{Ci}(z)=-\int_{z}^{z+\infty}\frac{\cos{t}}{t}\,\operatorname{d}\!t</math>

複素関数としての余弦積分は多価であるが、次のように[[複素対数関数]]と[[正則関数]]の和で表すことができる。

&\operatorname{liLi}(z) &= \operatorname{Ei}(\log{z})=-\pmoperatorname{Ei}(\pilog{2}i+) = \int_{02}^{z}\frac{1}{\log{t}}\,\operatorname{d}\!t \\

&\operatorname{Lili}(z) &= \operatorname{Ei}(\log{z})- = \operatorname{Eip.\!v.}(\logint_{0}^{2})=\frac{1}{\log{t}}\,\operatorname{d}\!t + \int_{2}^{z}\frac{1}{\log{t}}\,\operatorname{d}\!t \\

実関数とただしての対数積分 {{math|p.v.}} は[[コーシーの主値]]を用い表す。対数積分は素数の分布を表す公式([[素数定理]])に現れる。