「フランク＝タムの公式」の版間の差分
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== 計算 ==
<math />結果は次のようになる。 単位長さ、単位周波数幅あたりに放出される [[エネルギー]]について
<math>\frac{d^2E}{dx \, d\omega} = \frac{q^2}{4 \pi} \mu(\omega) \omega {\left(1 - \frac{c^2} {v^2 n^2(\omega)}\right)} </math>
ただし、このとき条件として、
<math>\frac{dE}{dx} = \frac{q^2}{4 \pi} \int_{v > \frac{c}{n(\omega)}} \mu(\omega) \omega {\left(1 - \frac{c^2} {v^2 n^2(\omega)}\right)} d\omega</math>
この積分は収束する。なぜならば、十分に高周波な領域では屈折率は1になるからである。<ref>
▲この積分は収束する。なぜならば、十分に高周波な領域では屈折率は1になるからである。<ref>The refractive index n is defined as the ratio of the speed of electromagnetic radiation in vacuum and the ''phase speed'' of electromagnetic waves in a medium and can, under specific circumstances, become less than one. See [//en.wikipedia.org/wiki/Refractive_index%23Refractive_index_below_1 refractive index] for further information.</ref><ref>The refractive index can become less than unity near the resonance frequency but at extremely high frequencies the refractive index becomes unity.</ref>
== フランク-タム公式の導出 ==
荷電粒子が相対論的に媒質中を等速度で移動する場合を考える。ガウス単位系で [[マクスウェルの方程式|マクスウェル方程式]] を考え、ポテンシャルをモード展開する:
<math>\bigg ( k^2 - \frac{\omega^2}{c^2} \epsilon(\omega) \bigg) \Phi(\vec k,\omega) = \frac{ 4 \pi}{\epsilon(\omega)} \rho(\vec k, \omega)</math><math /><math>\bigg ( k^2 - \frac{\omega^2}{c^2} \epsilon(\omega) \bigg) \vec A(\vec k,\omega) = \frac{ 4 \pi}{c} \vec J(\vec k, \omega)</math><math />電荷の移動速度を 、電荷および電流は密度として <math>\rho(\vec x, t) = z e \delta(\vec x - \vec v t)</math>,<math>\vec J(\vec x,t) = \vec v \rho(\vec x,t)</math>のように表現できる。これらをフーリエ変換することで、<math /><math /><math /><math>\bigg ( k^2 - \frac{\omega^2}{c^2} \epsilon(\omega) \bigg) \vec A(\vec k,\omega) = \frac{ 4 \pi}{c} \vec J(\vec k, \omega)</math><math /><math>\bigg ( k^2 - \frac{\omega^2}{c^2} \epsilon(\omega) \bigg) \vec A(\vec k,\omega) = \frac{ 4 \pi}{c} \vec J(\vec k, \omega)</math><math />この電荷密度および電流密度を代入し、方程式を解くことで
<math>\Phi(\vec k, \omega) = \frac{2 z e}{\epsilon(\omega)} \frac{ \delta(\omega - \vec k \cdot \vec v)}{k^2 - \frac{\omega^2}{c^2} \epsilon(\omega)}</math>
<math>\vec A(\vec k,\omega) = \epsilon(\omega) \frac{\vec v}{c} \Phi(\vec k,\omega)</math><math /><math />が得られる。電磁場とポテンシャルの間の関係を用いて、電場および磁場のモード展開を考えると<math /><math /><math>\vec E(\vec k,\omega) = i \bigg( \frac{\omega \epsilon(\omega)}{c} \frac{\vec v}{c} - \vec k \bigg) \Phi(\vec k,\omega)</math>および <math>\vec B(\vec k,\omega) = i \epsilon(\omega) \vec k \times \frac{\vec v}{c} \Phi(\vec k,\omega)</math>
が得られる。エネルギー損失に注目するため、粒子の軌跡からbだけ離れた点
<math>\vec E(\omega) = \frac{1}{ ( 2 \pi)^{3/2}} \int d^3k \vec E(\vec k,\omega) e^{i bk_2}</math><math /> まず、荷電粒子の運動方向の成分について計算する。<math /><math>E_1(\omega) = \frac{2 i z e}{\epsilon(\omega) ( 2\pi)^{3/2}} \int d^3k e^{i bk_2} \bigg( \frac{ \omega \epsilon(\omega) v}{c^2} - k_1 \bigg ) \frac{\delta(\omega - v k_1)}{k^2 - \frac{\omega^2}{c^2} \epsilon(\omega)}</math><math /><math /><math /><math />簡単のため <math>\lambda^2 = \frac{\omega^2}{v^2} - \frac{\omega^2}{c^2} \epsilon(\omega) = \frac{\omega^2}{v^2} \big ( 1 - \beta^2 \epsilon(\omega) \big )</math>を定義する。 積分を <math>k_1, k_2, k_3</math>に分ける。<math>k_1</math>積分はデルタ関数の定義によってただちに:
<math>E_1(\omega) = \frac{2 i z e \omega}{v^2 ( 2\pi)^{3/2}} \bigg( \frac{1}{\epsilon(\omega) - \beta^2} \bigg) \int_{-\infty}^{\infty} dk_2 e^{i bk_2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dk_3}{k_2^2 + k_3^2 + \lambda^2}</math><math /> <math>k_3</math>積分は <math>\frac{\pi}{ (\lambda^2 + k^2_2)^{1/2}}</math>となるため、<math /><math /><math>E_1(\omega) =- \frac{ i z e \omega}{v^2 \sqrt{2\pi}} \bigg( \frac{1}{\epsilon(\omega) - \beta^2} \bigg) \int_{-\infty}^{\infty} dk_2 \frac{e^{i bk_2}}{(\lambda^2 + k_2^2)^{1/2}}</math><math /><math />最後の積分の結果は [[ベッセル関数]]により与えられる。
<math>E_1(\omega) = - \frac{i z e \omega}{v^2} \big( \frac{2}{\pi} \big)^{1/2} \bigg( \frac{1}{\epsilon(\omega)} - \beta^2 \bigg) K_0(\lambda b)</math><math />
▲エネルギー損失に注目するため、粒子の軌跡からbだけ離れた点{\displaystyle (0,b,0)} での電場を求めたい。ここでのbはインパクトパラメータと呼ばれる。波数依存性をなくすため、次のような表式を導入する。
他の電場成分も同様な計算によってできる。それらの結果を書くと以下のようになる。
<math>E_2(\omega) = \frac{z e}{v} \big( \frac{2}{\pi} \big)^{1/2} \frac{\lambda}{\epsilon(\omega)} K_1(\lambda b)</math>
<math>B_3(\omega) = \epsilon(\omega) \beta E_2(\omega)</math><math /><math /><math />これによりエネルギー損失を求めることが可能となる。 荷電粒子の経路のまわりの半径
<math>\bigg( \frac{dE}{dx} \bigg)_{b > a} = \frac{1}{v \frac{dE}{dt} }= - \frac{c}{4 \pi v} \int_{-\infty}^{\infty} 2 \pi a B_3 E_1 dx</math><math /> ある時刻<span>でxについて積分すると、ある点で全時刻にわたる積分をするのと等しい</span>。 実際 <math>dx = v dt</math>であり、<math /><span></span><math>\bigg( \frac{dE}{dx} \bigg)_{b > a} = - \frac{c a }{2} \int_{-\infty}^{\infty} B_3(t) E_1(t) dt</math><math />これを周波数の積分に改めることで
<math>\bigg( \frac{dE}{dx} \bigg)_{b > a} = -c a * \text{Re} \bigg( \int_{0}^{\infty} B_3^*(\omega) E_1(\omega) d\omega \bigg)</math><math />周波数の積分にすることで、原子半径に比べて十分長い波長の放射のみを考えることができる。つまり、 <math>| \lambda a | \gg 1</math> 。 この仮定によりベッセル関数を漸近的に<math /><math>E_1(\omega) \rightarrow \frac{i z e \omega}{c^2} \big( \frac{2}{\pi} \big)^{1/2} \bigg( 1 - \frac{1}{\beta^2 \epsilon(\omega)} \bigg) \frac{e^{-\lambda b}}{\sqrt{\lambda b}}</math>
<math>E_2(\omega) \rightarrow \frac{z e}{v} \sqrt{\frac{\lambda}{b}} e^{-\lambda b}</math><math /><math>B_3(\omega) = \epsilon(\omega) \beta E_2(\omega)</math><math /><math />
と求めることができ、結果として
<math>\bigg( \frac{dE}{dx} \bigg)_{rad} = \text{Re} \bigg( \int_{0}^{\infty} \frac{z^2 e^2}{c^2} \bigg(-i \sqrt{\frac{\lambda^*}{\lambda} }\bigg) \omega \bigg( 1 - \frac{1}{\beta^2 \epsilon(\omega) } \bigg) e^{-(\lambda + \lambda^*) a} d\omega \bigg)</math><math />全周波数積分の実部を考える。 <math>\lambda </math> が正の実部を持てば、指数関数は大きなbで急速に0になる、つまり、エネルギーは軌跡のまわりにのみある。 しかし、そうでない、純虚の<math>\lambda </math> では指数関数は1になってしまい、エネルギーは軌跡から離れたところへ散逸することを示している。これがチェレンコフ放射である。<math /><math /><math>\lambda </math> が準拠であることは <math>\epsilon(\omega)</math>が実であり、 <math>\beta^2 \epsilon(\omega) > 1</math>を満たすことに相当する 。 これが、チェレンコフ放射の条件 <math>v > \frac{c}{\sqrt{\epsilon(\omega})}</math> に対応する。 純虚数の条件は<math>\sqrt{\frac{\lambda^*}{\lambda}} = i</math>となるため、積分はさらに<math>\bigg( \frac{dE}{dx} \bigg)_{rad} = \frac{ z^2 e^2}{c^2} \int_{\epsilon(\omega) > \frac{1}{\beta^2}} \omega \bigg( 1 - \frac{1}{\beta^2 \epsilon(\omega)} \bigg) d\omega </math><math /><math /><math /><math /><math /><math /><math /><math /><math />と簡略される。これがフランク-タム公式のガウス単位バージョンである。 この導出はジャクソン第3版に基づく。<ref>{{Cite book|last=Jackson|first=John|title=Classical Electrodynamics|year=1999|publisher=John Wiley & Sons, Inc|isbn=0-471-30932-X|pages=646-654}}</ref>
== 注記 ==
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