「フランク＝タムの公式」の版間の差分

 <math>\rho(\vec x, t) = z e \delta(\vec x - \vec v t)</math>

が得られる。電磁場とポテンシャルの間の関係を用いて、電場および磁場のモード展開を考えると
<math>\vec E(\vec k,\omega) = i \bigg( \frac{\omega \epsilon(\omega)}{c} \frac{\vec v}{c} - \vec k \bigg) \Phi(\vec k,\omega
)</math><math /><math /><math /><math /><math /><math /><math />
および

が得られる。エネルギー損失に注目するため、粒子の軌跡からbだけ離れた点<math>(0,b,0)</math>での電場を求めたい。ここでのbはインパクトパラメータと呼ばれる。波数依存性をなくすため、次のような表式を導入する。<math /><math /><math /><math />
<math>\vec E(\omega) = \frac{1}{ ( 2 \pi)^{3/2}} \int d^3k \vec E(\vec k,\omega) e^{i bk_2}</math>

 まず、荷電粒子の運動方向の成分について計算する。
<math>E_1(\omega) = \frac{2 i z e}{\epsilon(\omega) ( 2\pi)^{3/2}} \int d^3k e^{i bk_2} \bigg( \frac{ \omega \epsilon(\omega) v}{c^2} - k_1 \bigg ) \frac{\delta(\omega - v k_1)}{k^2 - \frac{\omega^2}{c^2} \epsilon(\omega)}</math>

簡単のため <math>\lambda^2 = \frac{\omega^2}{v^2} - \frac{\omega^2}{c^2} \epsilon(\omega) = \frac{\omega^2}{v^2} \big ( 1 - \beta^2 \epsilon(\omega) \big )</math>を定義する。 積分を <math>k_1, k_2, k_3</math>に分ける。<math>k_1</math>積分はデルタ関数の定義によってただちに:

<math>E_1(\omega) = \frac{2 i z e \omega}{v^2 ( 2\pi)^{3/2}} \bigg( \frac{1}{\epsilon(\omega) - \beta^2} \bigg) \int_{-\infty}^{\infty} dk_2 e^{i bk_2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dk_3}{k_2^2 + k_3^2 + \lambda^2}</math><math /><math /><math /><math /><math /><math /> 

<math>k_3</math>積分は <math>\frac{\pi}{ (\lambda^2 + k^2_2)^{1/2}}</math>となるため、

<math>E_1(\omega) = - \frac{i z e \omega}{v^2} \big( \frac{2}{\pi} \big)^{1/2} \bigg( \frac{1}{\epsilon(\omega)} - \beta^2 \bigg) K_0(\lambda b)</math><math /><math /><math /><math /><math /><math />

<math>B_3(\omega) = \epsilon(\omega) \beta E_2(\omega)</math><math /><math /><math />

これによりエネルギー損失を求めることが可能となる。 荷電粒子の経路のまわりの半径 aの円筒を通るエネルギーの流れを考えよう。エネルギ０ー保存則を考えることで、以下のように表現できる:

<math>E_1(\omega) \rightarrow \frac{i z e \omega}{c^2} \big( \frac{2}{\pi} \big)^{1/2} \bigg( 1 - \frac{1}{\beta^2 \epsilon(\omega)} \bigg) \frac{e^{-\lambda b}}{\sqrt{\lambda b}}</math><math /><math /><span></span><math /><math /><math />

<math>E_2(\omega) \rightarrow \frac{z e}{v} \sqrt{\frac{\lambda}{b}} e^{-\lambda b}</math>

<math>B_3(\omega) = \epsilon(\omega) \beta E_2(\omega)</math><math /><math /><math />

と簡略される。これがフランク-タム公式のガウス単位バージョンである。 この導出はジャクソン第3版に基づく。<ref>{{Cite book|last=Jackson|first=John|title=Classical Electrodynamics|year=1999|publisher=John Wiley & Sons, Inc|isbn=0-471-30932-X|pages=646-654}}</ref><math /><math /><math /><math /><math /><math /><math /><math /><math /><math /><math /><math />