「フィルター (数学)」の版間の差分
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位相空間の構造がフィルターの収束から決まることを強調。そのうち英語版の順序集合上のideal（フィルターの総対概念）の内容をこちらに移すかも。（逆順序をとれば全てフィルターの話なので）。 |
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上に上げた定義は任意の半順序集合上にフィルターを定義する上で最も一般的な形式であるが、初めフィルターは束に対してだけ定義されていた。束の場合には次の条件によってフィルターを特徴付けることができる：束 (''P'', ≤) の空でない部分集合 ''F'' は、上に開いていて、かつ有限の共通分操作（[[最大下界]]）で閉じている（つまり、''x'' と ''y'' が ''F'' に入っているなら ''x'' ∧ ''y'' も ''F'' に入っている）とき、およびそのときに限ってフィルターになる。
''P'' 上のフィルター ''F'' と ''G''について、''F'' ⊆ ''G'' ならば ''G'' は ''F'' より'''細かい'''、または ''F'' は ''G'' より'''粗い'''といい、これら二つのフィルターは'''比較可能'''だという。二つのフィルターがいつでも比較できるとは限らない。比較可能なほかのどんな真のフィルターよりも細かい真のフィルターは
''P'' の元 ''p'' を含むような ''P'' 上のフィルターのうちで最も小さいものは'''単項フィルター'''と呼ばれ、また ''p'' はそのフィルターの生成元<!-- "principal element" in the original doc -->と呼ばれる。''p'' によって生成される単項フィルターは具体的には ↑''p'' = {''x'' ∈ ''P'' | ''p'' ≤ ''x''} として与えられる。
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