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'''フランク=＝タムの公式''' は（フランク＝タムのこうしき、{{lang-en-short|Frank–Tamm formula}}）は、[[荷電粒子]]が物質中での[[光速度]]を超過すえる場合に放出される[[チェレンコフ放射]]の、単位長さあたりの[[放射エネルギー]]の[[周波数スペクトルの]]を求める公式である。[[1937年]]にチェレンコフ放射の理論的説明を与えたロシアの物理学者 [[イリヤ・フランク|イリヤ-フランク]] 、 と[[イーゴリ・タム|Igor Tamm]] にちなんで名付けられた。、彼らはこの功績により[[1958年]]に[[ノーベル物理学賞]]を受賞した。
 
荷電粒子が物質中の[[光]]の[[位相速度]]を超過しえた場合、その粒子から、[[エネルギー]] と [[運動量]]のを保存する形で[[コヒーレンス|コヒーレント]]な[[光子]]が放出されうる。 このプロセスは崩壊と見なすこともできる。
 
== 結果方程式 ==
<math />結果は次のようになる。 単位長さ、および単位周波数幅あたりに放出される [[エネルギー]]について
:<math>\frac{\mathrm d^2E}{\mathrm dx\,\mathrm d\omega}=\frac{q^2}{4\pi}\mu(\omega)\omega{\left(1-\frac{c^2}{v^2n^2(\omega)}\right)}</math>
となる。ただし、このとき条件として、{{math|''&beta;'' {{=}} {{Sfrac|''v''|''c''}} &gt; {{Sfrac|1|''n''(''&omega;'')}}}} が課される。ここで、{{Math|''&mu;''(''&omega;'')}} と {{Math|''n''(''&omega;'')}} はそれぞれ[[周波数]]に依存する[[透磁率]]と[[屈折率]]で、{{Mvar|q}} は荷電粒子の[[電荷]]、{{Mvar|v}} は荷電粒子の[[速度]]、{{Mvar|c}} は真空中での[[光速]]を指す。
 
チェレンコフ放射線は、[[蛍光]]や[[放出スペクトル]]の特徴的なピークは持たない。周波数ごとの相対強度はおおまかには周波数に比例している。高周波数（短波長）ではより強いため、[[可視光線|可視光領域]]のチェレンコフ放射は青白く見え、実際チェレンコフ放射は[[紫外線]]領域にある。
<math>\frac{d^2E}{dx \, d\omega} = \frac{q^2}{4 \pi} \mu(\omega) \omega {\left(1 - \frac{c^2} {v^2 n^2(\omega)}\right)} </math>
 
単位長さあたりに放射される全エネルギーは、荷電粒子の速度 {{Mvar|v}} が物質中の光速 {{Math|{{Sfrac|''c''|''n''(''&omega;'')}}}} より大きい領域での周波数 {{Mvar|&omega;}} に関する積分
ただし、このとき条件として、 。 ここでの  周波数に依存する 透磁率 および [[屈折率]] で、  荷電粒子 の電荷、 速度、  は、 真空中での[[光速]]を指す。<math /><math /><math /><math /><math /><math />チェレンコフ放射線は、典型的な [[蛍光]] または発光スペクトルでは特徴的なピークを持たない。 周波数ごとの相対強度はおおまかには周波数に比例している。 もっとも、高い周波数(短い波長）ではより強いため、見えるチェレンコフ放射は青白く見える。 実際、チェレンコフ放射は紫外線領域にある。<math />単位長さあたりエネルギー放射は、放射のある周波数領域を積分することで得られる。
:<math>\frac{\mathrm dE}{\mathrm dx}=\frac{q^2}{4\pi}\int_{v>\frac{c}{n(\omega)}}\mu(\omega)\omega{\left(1-\frac{c^2}{v^2n^2(\omega)}\right)}\mathrm d\omega</math>
で得られ、十分に高周波な領域では屈折率は1になるため、この積分は収束する{{Efn2|[[屈折率]] {{Mvar|n}} は真空中の光速度と媒質中での電磁波の位相速度の比として定義される。屈折率は特定の条件下において1を下回ることがある。}}。
 
== フランク＝タム公式の導出 ==
<math>\frac{dE}{dx} = \frac{q^2}{4 \pi} \int_{v > \frac{c}{n(\omega)}} \mu(\omega) \omega {\left(1 - \frac{c^2} {v^2 n^2(\omega)}\right)} d\omega</math>
荷電粒子が相対論的に媒質中を等速度で移動する場合を考える。ガウス単位系での[[マクスウェルの方程式|マクスウェル方程式]]を考え、ポテンシャルをモード展開すると
 
:<math>\left\{k^2-\frac{\omega^2}{c^2}\epsilon(\omega)\right\}\Phi(\vec k,\omega)=\frac{4\pi}{\varepsilon(\omega)}\rho(\vec k, \omega)</math>
この積分は収束する。なぜならば、十分に高周波な領域では屈折率は1になるからである。<ref>屈折率 n は真空中の光速度と媒質中での電磁波の位相速度の比として定義される。 屈折率は特定の条件下において1を下回ることがある。 詳細は [//en.wikipedia.org/wiki/Refractive_index%23Refractive_index_below_1 refractive index] を参照したい。</ref><ref>The refractive index can become less than unity near the resonance frequency but at extremely high frequencies the refractive index becomes unity.</ref>
:<math>\left\{k^2-\frac{\omega^2}{c^2}\epsilon(\omega)\right\}\vec A(\vec k,\omega)=\frac{4\pi}{c}\vec J(\vec k,\omega)</math>
 
となる。電荷の移動速度を {{Mvar|v}} とし、電荷および電流は密度として
== フランク-タム公式の導出 ==
:<math>\rho(\vec x,t)=ze\delta(\vec x-\vec vt)</math>
荷電粒子が相対論的に媒質中を等速度で移動する場合を考える。ガウス単位系で [[マクスウェルの方程式|マクスウェル方程式]] を考え、ポテンシャルをモード展開する:
:<math>\vec J(\vec x,t)=\vec v\rho(\vec x,t)</math>
 
を[[フーリエ変換]]することで
<math>\bigg ( k^2 - \frac{\omega^2}{c^2} \epsilon(\omega) \bigg) \Phi(\vec k,\omega) = \frac{ 4 \pi}{\epsilon(\omega)} \rho(\vec k, \omega)</math>
:<math>\rho(\vec k,\omega)=\frac{ze}{2\pi}\delta(\omega-\vec k\cdot\vec v)</math>
 
:<math>\bigg ( k^2 - \frac{\omega^2}{c^2} \epsilon(\omega) \bigg) \vec AJ(\vec k,\omega) = \frac{ 4vec v\pi}{c} \vec Jrho(\vec k, \omega)</math>
のように表現できる。この電荷密度および電流密度を代入し、方程式を解くことで
 
:<math>\Phi(\vec k,\omega)=\frac{2ze}{\varepsilon(\omega)}\frac{\delta(\omega-\vec k\cdot\vec v)}{k^2-\frac{\omega^2}{c^2}\epsilon(\omega)}</math>
電荷の移動速度をvとし、電荷および電流は密度として
:<math>\vec A(\vec k,\omega)=\varepsilon(\omega)\frac{\vec v}{c}\Phi(\vec k,\omega)</math>
 
が得られる。電磁場とポテンシャルの関係式を用いて、電場および磁場のモード展開を考えると
<math>\rho(\vec x, t) = z e \delta(\vec x - \vec v t)</math>
:<math>\vec E(\vec k,\omega)=i\left\{\frac{\omega\varepsilon(\omega)}{c}\frac{\vec v}{c}-\vec k\right\}\Phi(\vec k,\omega)</math>
 
:<math>\vec JB(\vec xk,t\omega) =i\varepsilon(\omega)\vec k\times\frac{\vec v }{c}\rhoPhi(\vec xk,t\omega)</math>
が得られる。エネルギー損失に注目するため、粒子の軌跡から {{Mvar|b}} だけ離れた点 {{math|(0, ''b'', 0)}} での電場を求めたい。ここでの {{Mvar|b}} はインパクトパラメータと呼ばれる。波数依存性をなくすため
 
:<math>\vec E(\omega)=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int\mathrm d^3k\vec E(\vec k,\omega)e^{ibk_2}</math>
のように表現できる。これらをフーリエ変換することで、
を導入する。まず、荷電粒子の運動方向の成分について計算する。
 
:<math>E_1(\bigg omega)=\frac{2ize}{\varepsilon( k\omega)(2\pi)^{3/2}}\int\mathrm - d^3ke^{ibk_2}\left\{\frac{\omega^2\varepsilon(\omega)v}{c^2} -k_1\epsilon(right\omega) }\bigg) frac{\vec Adelta(\vec k,\omega-vk_1) = }{k^2-\frac{ 4 \piomega^2}{c^2} \vec Jvarepsilon(\vec k, \omega)}</math>
 
<math>\bigg ( k^2 - \frac{\omega^2}{c^2} \epsilon(\omega) \bigg) \vec A(\vec k,\omega) = \frac{ 4 \pi}{c} \vec J(\vec k, \omega)</math>
 
となる。この電荷密度および電流密度を代入し、方程式を解くことで
 
<math>\Phi(\vec k, \omega) = \frac{2 z e}{\epsilon(\omega)} \frac{ \delta(\omega - \vec k \cdot \vec v)}{k^2 - \frac{\omega^2}{c^2} \epsilon(\omega)}</math>
 
<math>\vec A(\vec k,\omega) = \epsilon(\omega) \frac{\vec v}{c} \Phi(\vec k,\omega)</math>
 
が得られる。電磁場とポテンシャルの間の関係を用いて、電場および磁場のモード展開を考えると
<math>\vec E(\vec k,\omega) = i \bigg( \frac{\omega \epsilon(\omega)}{c} \frac{\vec v}{c} - \vec k \bigg) \Phi(\vec k,\omega
)</math>
および
 
<math>\vec B(\vec k,\omega) = i \epsilon(\omega) \vec k \times \frac{\vec v}{c} \Phi(\vec k,\omega)</math>
 
が得られる。エネルギー損失に注目するため、粒子の軌跡からbだけ離れた点<math>(0,b,0)</math>での電場を求めたい。ここでのbはインパクトパラメータと呼ばれる。波数依存性をなくすため、次のような表式を導入する。
<math>\vec E(\omega) = \frac{1}{ ( 2 \pi)^{3/2}} \int d^3k \vec E(\vec k,\omega) e^{i bk_2}</math>
 
まず、荷電粒子の運動方向の成分について計算する。
<math>E_1(\omega) = \frac{2 i z e}{\epsilon(\omega) ( 2\pi)^{3/2}} \int d^3k e^{i bk_2} \bigg( \frac{ \omega \epsilon(\omega) v}{c^2} - k_1 \bigg ) \frac{\delta(\omega - v k_1)}{k^2 - \frac{\omega^2}{c^2} \epsilon(\omega)}</math>
 
簡単のため
:<math>\lambda^2 = \frac{\omega^2}{v^2} - \frac{\omega^2}{c^2} \epsilonvarepsilon(\omega) = \frac{\omega^2}{v^2} \big ( left\{1 - \beta^2 \epsilonvarepsilon(\omega) \big )right\}</math>
を定義する。 積分を <{{math|''k''<sub>1</sub>k_1, k_2''k''<sub>2</sub>, k_3''k''<sub>3</mathsub>}} に分ける。<{{math|''k''<sub>k_11</mathsub>}} 積分は[[ディラックのデルタ関数|デルタ関数]]の定義によってただちに:
:<math>E_1(\omega)=\frac{2ize\omega}{v^2(2\pi)^{3/2}}\left\{\frac1{\varepsilon(\omega)-\beta^2}\right\}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm dk_2e^{ibk_2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm dk_3}{k_2^2+k_3^2+\lambda^2}</math>
 
となる。{{math|''k''<sub>3</sub>}} 積分は {{math|{{Sfrac|''&pi;''|(''&lambda;''<sup>2</sup> + {{SubSup|k|2|2}})<sup>1/2</sup>}}}} となるため、
<math>E_1(\omega) = \frac{2 i z e \omega}{v^2 ( 2\pi)^{3/2}} \bigg( \frac{1}{\epsilon(\omega) - \beta^2} \bigg) \int_{-\infty}^{\infty} dk_2 e^{i bk_2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dk_3}{k_2^2 + k_3^2 + \lambda^2}</math>
:<math>E_1(\omega)=-\frac{ize\omega}{v^2\sqrt{2\pi}}\left\{\frac1{\varepsilon(\omega)-\beta^2}\right\}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm dk_2\frac{e^{ibk_2}}{(\lambda^2+k_2^2)^{1/2}}</math>
 
となる。最後の積分の結果は[[ベッセル関数]]により
<math>k_3</math>積分は <math>\frac{\pi}{ (\lambda^2 + k^2_2)^{1/2}}</math>となるため、
:<math>E_1(\omega)=-\frac{ize\omega}{v^2}\left(\frac{2}{\pi}\right)^{1/2}\left\{\frac1{\varepsilon(\omega)}-\beta^2\right\}K_0(\lambda b)</math>
 
と与えられる。他の電場成分も同様な計算によってできる。それらの結果を書くと以下のようになる。
<math>E_1(\omega) =- \frac{ i z e \omega}{v^2 \sqrt{2\pi}} \bigg( \frac{1}{\epsilon(\omega) - \beta^2} \bigg) \int_{-\infty}^{\infty} dk_2 \frac{e^{i bk_2}}{(\lambda^2 + k_2^2)^{1/2}}</math>
:<math>E_2(\omega)=\frac{ze}{v}\left(\frac{2}{\pi}\right)^{1/2}\frac{\lambda}{\varepsilon(\omega)}K_1(\lambda b)</math>
 
:<math>B_3(\omega)=\varepsilon(\omega)\beta E_2(\omega)</math>
最後の積分の結果は [[ベッセル関数]]により与えられる。
 
<math>E_1(\omega) = - \frac{i z e \omega}{v^2} \big( \frac{2}{\pi} \big)^{1/2} \bigg( \frac{1}{\epsilon(\omega)} - \beta^2 \bigg) K_0(\lambda b)</math>
 
他の電場成分も同様な計算によってできる。それらの結果を書くと以下のようになる。
 
<math>E_2(\omega) = \frac{z e}{v} \big( \frac{2}{\pi} \big)^{1/2} \frac{\lambda}{\epsilon(\omega)} K_1(\lambda b)</math>
 
<math>B_3(\omega) = \epsilon(\omega) \beta E_2(\omega)</math>
 
これによりエネルギー損失を求めることが可能となる。 荷電粒子の経路のまわりの半径aの円筒を通るエネルギーの流れを考えよう。エネルギー保存則を考えることで、以下のように表現できる:
 
<math>\bigg( \frac{dE}{dx} \bigg)_{b > a} = \frac{1}{v \frac{dE}{dt} }= - \frac{c}{4 \pi v} \int_{-\infty}^{\infty} 2 \pi a B_3 E_1 dx</math>
 
 ある時刻<span>でxについて積分すると、ある点で全時刻にわたる積分をするのと等しい</span>。 実際  <math>dx = v dt</math>であり、
 
<math>\bigg( \frac{dE}{dx} \bigg)_{b > a} = - \frac{c a }{2} \int_{-\infty}^{\infty} B_3(t) E_1(t) dt</math>
 
これを周波数の積分に改めることで
 
<math>\bigg( \frac{dE}{dx} \bigg)_{b > a} = -c a * \text{Re} \bigg( \int_{0}^{\infty} B_3^*(\omega) E_1(\omega) d\omega \bigg)</math>
 
周波数の積分にすることで、原子半径に比べて十分長い波長の放射のみを考えることができる。つまり、 <math>| \lambda a | \gg 1</math> 。 この仮定によりベッセル関数を漸近的に
 
<math>E_1(\omega) \rightarrow \frac{i z e \omega}{c^2} \big( \frac{2}{\pi} \big)^{1/2} \bigg( 1 - \frac{1}{\beta^2 \epsilon(\omega)} \bigg) \frac{e^{-\lambda b}}{\sqrt{\lambda b}}</math>
 
<math>E_2(\omega) \rightarrow \frac{z e}{v} \sqrt{\frac{\lambda}{b}} e^{-\lambda b}</math>
 
<math>B_3(\omega) = \epsilon(\omega) \beta E_2(\omega)</math>
 
これによりエネルギー損失を求めることが可能となる。荷電粒子の経路のまわりの半径 {{Mvar|a}} の円筒を通るエネルギーの流れを考えると、[[エネルギー保存の法則|エネルギー保存則]]を考えることで
:<math>\left(\frac{\mathrm dE}{\mathrm dx}\right)_{b>a}=\frac1{v\frac{\mathrm dE}{\mathrm dt}}=-\frac{c}{4\pi v}\int_{-\infty}^{\infty}2\pi aB_3E_1\mathrm dx</math>
と表現できる。ある時刻で {{Mvar|x}} について積分すると、ある点で全時刻にわたる積分をするのと等しい。実際 {{math|d''x'' {{=}} ''v''d''t''}} であり、
:<math>\left(\frac{\mathrm dE}{\mathrm dx}\right)_{b>a}=-\frac{ca}{2}\int_{-\infty}^{\infty}B_3(t)E_1(t)\mathrm dt</math>
となる。これを周波数の積分に改めることで
:<math>\left(\frac{\mathrm dE}{\mathrm dx}\right)_{b>a}=-ca*\text{Re}\left(\int_{0}^{\infty}B_3^*(\omega)E_1(\omega)\mathrm d\omega\right)</math>
となり、周波数の積分にすることで、原子半径に比べて十分長い波長の放射のみを考えることができる。つまり、{{math|{{abs|''&lambda;a''}} &#x226B; 1}} という仮定によりベッセル関数を漸近的に
:<math>E_1(\omega)\rightarrow\frac{ize\omega}{c^2}\left(\frac{2}{\pi}\right)^{1/2}\left\{1-\frac1{\beta^2\varepsilon(\omega)}\right\}\frac{e^{-\lambda b}}{\sqrt{\lambda b}}</math>
:<math>E_2(\omega)\rightarrow\frac{ze}{v}\sqrt{\frac{\lambda}{b}}e^{-\lambda b}</math>
:<math>B_3(\omega)=\varepsilon(\omega)\beta E_2(\omega)</math>
と求めることができ、結果として
:<math>\left(\frac{\mathrm dE}{\mathrm dx}\right)_{rad}=\text{Re}\left(\int_{0}^{\infty}\frac{z^2e^2}{c^2}\left(-i\sqrt{\frac{\lambda^*}{\lambda}}\right)\omega\left(1-\frac1{\beta^2\varepsilon(\omega)}\right)e^{-(\lambda+\lambda^*)a}\mathrm d\omega\right)</math>
が得られる。全周波数積分の実部を考える。{{mvar|&lambda;}} が正の実部を持てば、指数関数は大きな {{Mvar|b}} で急速に0になる。つまり、エネルギーは軌跡のまわりにのみ存在するが、純虚数の {{mvar|&lambda;}} では指数関数は1になってしまい、エネルギーは軌跡から離れたところへ散逸することを示している。これがチェレンコフ放射である。{{mvar|&lambda;}} が純虚数であることは {{math|''&epsilon;''(''&omega;'')}} が実であり、{{math|''&beta;''<sup>2</sup>''&epsilon;''(''&omega;'') &gt; 1}} を満たすことに相当する。これが、チェレンコフ放射の条件 {{math|''v'' &gt; {{Sfrac|''c''|{{sqrt|''&epsilon;''(''&omega;'')}}}}}} に対応する。純虚数の条件は {{math|{{sqrt|{{Sfrac|''&lambda;''<sup>*</sup>|''&lambda;''}}|frac=.}} {{=}} ''i''}} となるため、積分はさらに
:<math>\left(\frac{\mathrm dE}{\mathrm dx}\right)_{rad}=\frac{z^2e^2}{c^2}\int_{\varepsilon(\omega)>\frac1{\beta^2}}\omega\left\{1-\frac1{\beta^2\varepsilon(\omega)}\right\}\mathrm d\omega</math>
と簡略される。これがガウス単位での表示によるフランク＝タム公式である。この導出はジャクソン第3版に基づく<ref>{{Cite book|last=Jackson|first=John|title=Classical Electrodynamics|edition=3rd|year=1999|publisher=John Wiley & Sons, Inc|isbn=0-471-30932-X|pages=646-654}}</ref>。
 
== 脚注 ==
<math>\bigg( \frac{dE}{dx} \bigg)_{rad} = \text{Re} \bigg( \int_{0}^{\infty} \frac{z^2 e^2}{c^2} \bigg(-i \sqrt{\frac{\lambda^*}{\lambda} }\bigg) \omega \bigg( 1 - \frac{1}{\beta^2 \epsilon(\omega) } \bigg) e^{-(\lambda + \lambda^*) a} d\omega \bigg)</math>
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist2}}
=== 出典 ===
{{reflist}}
 
== 参考文献 ==
全周波数積分の実部を考える。 <math>\lambda </math> が正の実部を持てば、指数関数は大きなbで急速に0になる、つまり、エネルギーは軌跡のまわりにのみある。 しかし、そうでない、純虚の<math>\lambda </math> では指数関数は1になってしまい、エネルギーは軌跡から離れたところへ散逸することを示している。これがチェレンコフ放射である。<math>\lambda </math> が準拠であることは <math>\epsilon(\omega)</math>が実であり、 <math>\beta^2 \epsilon(\omega) > 1</math>を満たすことに相当する 。 これが、チェレンコフ放射の条件 <math>v > \frac{c}{\sqrt{\epsilon(\omega})}</math> に対応する。 純虚数の条件は<math>\sqrt{\frac{\lambda^*}{\lambda}} = i</math>となるため、積分はさらに
* {{cite journal|first1=C.A.|last1=Mead|journal=[[Physical Review]]|volume=110|page=359-369|year=1958|title=Quantum Theory of the Refractive Index|issue=2|doi=10.1103/PhysRev.110.359|bibcode=1958PhRv..110..359M}}
* {{cite journal|first1=P.A.|last1=Cerenkov|journal=[[Physical Review]]|volume=52|issue=4|pages=378-379|year=1937|title=Visible Radiation Produced by Electrons Moving in a Medium with Velocities Exceeding that of Light|bibcode=1937PhRv...52..378C|doi=10.1103/PhysRev.52.378}}
 
== 外部リンク ==
<math>\bigg( \frac{dE}{dx} \bigg)_{rad} = \frac{ z^2 e^2}{c^2} \int_{\epsilon(\omega) > \frac{1}{\beta^2}} \omega \bigg( 1 - \frac{1}{\beta^2 \epsilon(\omega)} \bigg) d\omega </math>
* [https://thecuriousastronomer.wordpress.com/tag/frank-tamm-formula/ Cherenkov radiation (Tagged ‘Frank-Tamm formula’)]
 
{{DEFAULTSORT:ふらんくたむのこうしき}}
と簡略される。これがフランク-タム公式のガウス単位バージョンである。 この導出はジャクソン第3版に基づく。<ref>{{Cite book|last=Jackson|first=John|title=Classical Electrodynamics|year=1999|publisher=John Wiley & Sons, Inc|isbn=0-471-30932-X|pages=646-654}}</ref>
== 注記 ==
{{reflist}}
 
== 参考文献 ==
J.D.Jackson "Classical Electrodynamics 3rd edition" John Wiley & Sons, inc. (1998)
[[Category:素粒子物理学]]
[[Category:物理学の方程式]]
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