「行列の階数」の版間の差分
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== 定義 ==
任意の与えられた行列 {{mvar|A}} に対して以下は
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* 表現行列 {{mvar|A}} の[[線型写像]]の像空間の[[次元]]。詳しくは[[#線型写像の階数]]を見られたし。
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文献により、上記の条件の
=== 注意 ===
21行目:
{{mvar|A}} を {{math|''m'' × ''n''}} 行列とする。また、 {{mvar|f}} を表現行列 {{mvar|A}} の線型写像とする
=== 一般の体上 ===
* {{math|''m'' × ''n''}} 行列の階数は[[非負整数]]で、{{mvar|m, n}} の
* {{mvar|A}} が[[零行列]]のときかつその時に限り {{math|1=rank(''A'') = 0}}.
* {{mvar|f}} が[[単射]]となるための必要十分条件は、{{math|1=rank(''A'') = ''n''}}（これを {{mvar|A}} は'''列充足階数'''を持つという）となることである。
34行目:
* [[階数・退化次数の定理]]が成立
; シルベスターの階数不等式
: {{math|''m'' × ''n''}} 行列 {{mvar|A}} と {{math|''n'' × ''k''}} 行列 {{mvar|B}} に対し <math display="block"> \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) - n \leq \operatorname{rank}(A B)
</math> が成り立つ。{{efn|証明: 階数–退化次数定理を不等式 <math display="block">\dim\ker(AB) \le \dim\ker(A) + \dim\ker(B)</math> に適用すればよい}}
; フロベニウスの不等式
: 行列の積 {{mvar|A, ABC, BC}} がいずれも定義されるとき、<math display="block"> \operatorname{rank}(AB) + \operatorname{rank}(BC) \le \operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(ABC)
</math> が成り立つ。{{efn|証明: 写像 <math display="block">C\colon \ker(ABC) / \ker(BC) \to \ker(AB) / \ker(B)</math> は矛盾なく定義されて、単射である。したがって退化次数に対する不等式が得られるが、それを階数–退化次数定理で階数に関するものへ読み替えればよい。あるいは別法として、任意の部分線型空間 {{mvar|M}} に対し {{math|dim(''AM'') ≤ dim(''M'')}} が成り立つから、これを {{mvar|BC}} の像の {{mvar|B}} の像における（直交）補空間の定める部分空間（次元は {{math|rank(''B'') − rank(''BC'')}}）を {{mvar|M}} として適用する。その {{mvar|A}} による像は次元 {{math|rank(''AB'') – rank(''ABC'')}} である。}}
; 劣加法性
=== 特定の体上 ===
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== 階数の計算 ==
例えば、行列
: <math>
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が成立し、'''階数と退化次数の関係式'''あるいは簡単に'''[[階数・退化次数の定理|階数・退化次数公式]]'''などと呼ばれる。
== 脚注 ==
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=== 注釈 ===
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