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m →‎基数演算: 今回の加筆で基数の具体的な定義には依らない表現を徹底しました。(この編集は徹底できてなかったところの修正)
m →‎定義: スコットのからくりの英語版である Scott's trick への仮リンク
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始順序数を基数とし、整列可能な集合の濃度をその始順序数として定義する基数の定義をフォン・ノイマンの割り当てという。
;スコットのからくり
[[正則性公理]]の元、任意のクラスにたいし画一的に(そのクラスの部分クラスとなるような)集合を割り当てる方法である[[スコットのからくり]]を使うと、 整列可能とは限らない集合 {{math|''X''}} に濃度として {{math|''[X]''}} の代わりに集合を以下のように割り当てることが出来る(詳しくは[[{{仮リンク|スコットのからくり]]|en|Scott's trick}}を参照)。
:{{math|| ''X'' | := {''A'' : | ''A'' | = | ''X'' |}} かつ、任意の集合 {{math|''B''}} にたいし{{math|「| ''B'' | = | ''X'' | → rank( ''A'') ≤ rank( ''B'')」}}}
このとき基数はある集合と濃度が等しい集合のうち階数が一番小さいもの全体からなる集合として定義される。
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以下、特に言及のないとき記事では選択公理を仮定する。
 
== 基数演算 ==
以下 {{math|''X''}} 、{{math|''Y''}} は集合、{{math|κ}} 、{{math|λ}} 、{{math|μ}} 、{{math|ν}} は基数とする。