「初等幾何学」の版間の差分

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[[解析幾何学]]のように[[座標]]や[[多項式|代数的式]]を用いたり、[[微分幾何学]]のように[[解析学]]を用いたりしないものである<ref name="a"/><ref name="b"/>。初等幾何学で扱われる対象が経験的かつ直感的であるため、このように命名されたものと考えられているが<ref name="a"/>、数学において初等といえば必ずしもやさしいなどといった意味ではなく、歴史的に最も古い分野の一つであるが<ref name="a"/>、近代においても定理が発見されているため、ユークリッド原論などによって完成された分野ではない。例えば[[ラングレーの問題]]なども、20世紀に入ってから出された問題である。
 
総合幾何学は古典的な[[射影幾何学]]も包含し、初等幾何学における問題は何らかの定理や命題を証明するもののほかに、定規とコンパスによる[[作図]]問題が有名である。作図問題では、定規は直線を引くためだけに用い、長さを測定してはならず、コンパスは円を書くためだけに用い、書き終わったらただちに紙から離してすぐに閉じねばならない<ref>小林昭七『[http://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-1516-0.htm 円の数学]』、裳華房、1999年。ISBN 978-4-7853-1516-0</ref>。つまり、定規やコンパスを用いて長さを測定したり、分度器を使ったりする行為すら初等幾何学においては禁止されており、例えば2つの辺の長さが1である直角二等辺三角形の斜辺の長さは <math>\sqrt 2</math> であるが、これも初等幾何学における証明や作図行為においては'''定規で'''長さを測っては<ref>測定値を証明どに利用しては</ref>いけないわけである
 
==教育==
 
教育においては長らく重視されてきたが、幾何学基礎論による批判なども相次ぎ、もっと厳密な数学を教えるべきだと一時期取沙汰され、デュドネの著書もそのような流れで執筆されたものである。日本でも[[明治]]から戦後まもないころまでは初等幾何学や解析幾何学が体系的に教えられていたが、その後、いわゆる「現代化」<ref>数学教育の文脈で、いわゆる「現代化」と言った場合、{{仮リンク|新しい数学|en|New Math}}(New Math)と呼ばれた(日本では「新数学」などとも)固有の教育改革の潮流を指す。</ref>などもあり、学校教育からは初等幾何学は大幅に削減された<ref>小林幹雄、『[http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320019300 復刊初等幾何学]』、共立出版、〈[http://www.kyoritsu-pub.co.jp/series/27/ 復刊・復刻・新装版]〉、2010年、まえがき参照。ISBN 978-4-320-01930-0
</ref>。[[小平邦彦]]など、過度に厳密すぎるのもかえって問題ではないかと抵抗した数学者・科学者<ref>もいる。
</ref>。[[小平邦彦]]など、過度に厳密すぎるのもかえって問題ではないかと抵抗した数学者・科学者<ref>数学外を専門としていた者による意見としては、物理学者の[[伏見康治]]は『折り紙の幾何学』で、初等幾何学を教えなくなっているという現実を息子から聞いて愕然とし「[[矢野健太郎 (数学者)|ヤノケン氏]]は何をしていたのであろう(中略)叱咤激励しなければならない」(同書 p. 82)と書いている(なお、その「ヤノケン氏」(伏見は同窓ということもあり、敢えて字名を書いている)こと矢野健太郎は、自身の「モノグラフ公式集」からは、初等幾何学の削除はしなかった)。</ref>もいる。
 
そもそも数学的観点以前の、教育自身の問題として「現代化」は反省の対象であったし<ref>『数学教育現代化の失敗 ジョニーはなぜたし算ができないか』などを参照</ref>、一方で数学教育全体の観点からは、以前は専門教育でしか扱われなかった行列など、実際に現代の科学(物理)や技術や工学で絶対に必要なものをカリキュラムに追加しなければならなかったという事情などもあり<ref>たとえば20世紀の物理の「花形」の一つであったと言える量子物理だが、当初はそれに絶対に必要な数学を当時の世界一流の物理学者でも、当時の教育課程には入っていなかったため苦心した、というような話がある。</ref>、一方的な観点から語ることはできない。しかし、学習指導要領の変遷の上で消えたり現れたりを繰り返した複素平面のような例<ref>[https://archive.is/20170421181304/http://web1.kcg.edu/~k_emi/math/s-math.html 外部リンク] webcache.googleusercontent.comからのアーカイブ、27 Apr 2017 12:15:33 UTC閲覧。</ref>も日本の数学教育の歴史上にあるとは言え、かなりの長期にわたって空白であったのは初等幾何学だけである。
 
== 現況 ==
以前は、[[学習指導要領]]の改訂の度に初等幾何学は削減が定向となっており、一時期の高校数学からは初等幾何学は完全に姿を消していた。しかし、1990年代以降に注目されるようになった[[国際数学オリンピック]]などにおいて、日本勢の幾何感覚の薄さが取り沙汰されたことなどによる見直しなどもあり、2016年現在、初等幾何学が部分的<ref>[[ジョバンニ・チェバ|チェバ]]、[[アレクサンドリアのメネラウス|メネラウス]]以外の人物の定理は依然として要領から外されている。学習参考書においても、重視はされていない。</ref>に復活しており、[[京都大学]]の2009年度の入試問題乙の問2が話題<ref>[http://d.hatena.ne.jp/nankai/20090416 外部リンク]</ref>となった。ただし、平面幾何を学習指導要領から削除した期間が思いのほか長く、大学入試問題に平面幾何を採用する動きはさほど大きくない。2015年大学入試から開始された新学習指導要領では、初等幾何学は「図形の性質」として[[大学入試センター]]試験に選択問題として出題されている。<ref>2015年入試から開始された新課程は授業時間削減の弊害から図形の性質と整数の性質を「どちらかを必修とする」ため、このような措置が取られている。</ref>
 
また、[[イギリス]]の J. F. Rigbyの手でも解けなかった[[ラングレーの問題]]の拡張が、yahooアカウントaerile_reによって証明され<ref>[http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n365238 外部リンク]</ref>話題になるなど、初等幾何学はインターネット上では時折話題になるトピックの一つとなっている
 
== 脚注 ==