「準同型」の版間の差分

少し足す。相変わらず中身があまり無い気がする。
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'''準同型'''(じゅんどうけい)あるいは'''準同型写像'''(じゅんどうけいしゃぞう) (homomorphism, morphism) とは、同じ[[構造 (数学)|数学的構造]]をもつ集合の間で定義される、その構造を保つ[[写像]]のことである。おもに[[代数的構造]]に関するものを準同型と呼ぶことが多い。
 
準同型写像 ''f'': ''A'' → ''B'' が与えられたとき、その像 ''f''(''A'') は ''B'' の部分系となる。特に ''f'' が単射であれば ''A'' は ''B'' にその構造まで込めて埋め込まれる。ゆえに、単射な準同型はしばしば'''埋め込み'''(うめこみ、embedding)と呼ばれることがある。なお、単射な準同型、全射な準同型はそれぞれ'''単準同型'''(たんじゅんどうけい、monomorphism)、'''全準同型'''(ぜんじゅんどうけい、epimorphism)とも言われる。
 
準同型写像 ''f'' が逆写像 ''f''<sup> -1</sup> を持ち、なおかつ ''f''<sup> -1</sup> もまた準同型であるとき、''f'' は'''同型'''(どうけい)あるいは'''同型写像'''(どうけいしゃぞう)であるという。''f'' が同型ならば ''f''<sup> -1</sup> も当然同型である。
ある数学的構造を持つ二つの集合 ''A'', ''B'' の間に同型写像が存在するとき、''A'' と ''B'' は同型であるという(同様の言い回しは準同型でも通用するが、あまり使われないようである)。互いに同型な集合はその構造に関しては同じものとみなすことができる。
 
値域と終域が同じ集合 ''A'' である準同型写像 ''f'': ''A'' &rarr; ''A'' は ''A'' 上の'''自己準同型'''(じこじゅんどうけい、endmorphism)であると言い、さらに ''f'' が同型写像であるときには ''A'' 上の'''自己同型'''(じこどうけい、automorphism)と呼ばれる。
[[群論|群]]や[[環論|環]]の準同型、[[ベクトル空間]]の線形写像(加群としての準同型)は全単射ならば同型である。また、[[体論|体]]の準同型は常に単射であり、かつ零射でないのでその像と元の体は同型になる。ゆえに体の場合は準同型といわず'''中への同型'''とよび、さらに全射ならば'''上への同型'''であるという。
 
==例==
 
[[群論|群]]や[[環論|環]]の準同型、[[ベクトル空間]]の[[線形写像]]環上の加群としての準同型)は全単射ならば同型である。また、[[体論|体]]の準同型(単位元持つ環としての準同型)は常に単射であり、かつ零射でないのでその像と元の体は同型になる。ゆえに体の場合は準同型といわず'''中への同型'''とよび、さらに全射ならば'''上への同型'''であるという。
 
[[連続写像]]は[[位相空間]]における準同型であるとみなせる。同型写像に当たるものは全単射かつ両連続な写像であり、それは同相写像あるいは[[位相同型]]写像と呼ばれる。
 
同様に、単調写像(順序を保つ写像・順序を逆にする写像)は[[順序集合]]における準同型であり、全単射な単調写像は順序同型(順序を保つ同型・順序を逆にする同型)であるという。
 
基点を持つ集合の間の準同型とは、基点を基点にうつす写像である。
 
==その他==
 
本質的には、準同型写像とは特定の数学的構造のなす[[圏論|圏]]における射 (morphism) になっているような写像のことであると言ってよい。(もちろん一般の圏ではその対象は集合とは限らないし、その射が写像であるとも限らない。)
また、まったく同じ写像でも、ある構造に注目したときは準同型を与えるけれども、始域・終域にさらに構造をいれたり、他の構造を持つ集合と見たりしたときには準同型でないことがありうる。したがって、同時にいくつもの構造を併せ持つ集合たちの間の準同型を扱う時には、それがどの構造と可換であるかをはっきりさせる必要が生じる。
 
==関連項目==
 
* [[構造 (数学)]]
** [[代数的構造]]
** [[順序的構造]]
** [[位相的構造]]
 
* [[群論]]
* [[環論]]
* [[体論]]
* [[ベクトル空間]]
* [[リー群]]
* [[リー環]]
 
{{stub}}
 
[[en:Homomorpisim]]
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