「距離」の版間の差分

読者をより抽象的な数学の世界に誘うため、距離空間についてもかみ砕いて取り上げた。
(読者をより抽象的な数学の世界に誘うため、距離空間についてもかみ砕いて取り上げた。)
 
{{Otheruses|主として[[ユークリッド幾何学]]における距離|一般化した距離|距離空間|競馬での距離の説明|距離 (競馬)|スキー競技|クロスカントリースキー}}
'''距離'''(きょり、{{lang-de-short|Entfernung}})とは、ある2点間に対して測定した[[長さ]]の量をいう。本項では日常生活および高校数学の範囲内で使われている距離について触れる。大学以上で扱うより専門的・抽象的な距離については[[距離空間]]を参照。
 
== 日常生活における用法 ==
具体的な距離の定義は1つでなく、直線距離を指して距離ということもあれば、[[高速道路]]の[[インターチェンジ]]間の距離や[[陸上競技]]のトラック競技において用いられる距離のように、特定の経路に沿って測った長さを指すこともある。前者について特に距離と呼び、後者については'''道程'''(みちのり)と、こだわる向きも一部に見られることがあるが、[[マンハッタン距離]](後述)といった言葉もあり、特にこだわるべきものではない。とりうる経路が複数ある時に、その中で距離の[[最小]](あるいは[[下限]])値を最短距離といい、最短距離を実現する経路を最短路という。
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=== 時間距離 ===
 
== ユークリッド幾何学の距離 ==
本節は高校数学で習う[[ユークリッド幾何学距離]]での距離について触れる。
 
=== 2点間の距離 ===
1次元空間の2点間の直線距離は以下の通り。
:<math>|x_1-x_2|</math>
 
⇔<math>\sqrt{(x_1-x_2)^2}</math>
 
2次元空間の2点間の直線距離は以下の通り。
:<math>\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}</math>
点から[[直線]]までの距離、あるいは点と直線との間の距離とは、その点から直線へ下した[[垂線]]の長さを指す。これは、その点と直線上にとった点との距離の中で最短の距離であり、点を中心として描いた直線の接円の半径に等しい。三角形の場合、頂点から対辺を含む直線までの距離を高さと呼ぶ。また同様に、点から[[平面]]までの距離、あるいは点と平面の間の距離を、点から平面へ下した垂線の長さで定義する。これは、点と平面上の点との距離の中で最短の距離であり、点を中心とした球のうち、平面に接するものの半径に等しい。4次元以上の[[ユークリッド空間]]内での3次元以上の[[超平面]]と点との距離も同様である。2本の[[平行線]]のうち一方の直線上の点と他方の直線との距離(垂線の長さ)は全て等しく、この長さを2本の平行線の間の距離という。平行な2平面の間の距離も同様に定義できる。一般に2つの図形の間の距離を、各図形から1点ずつ取ってきたときの2点間の距離の[[下限]]として定義できる。
 
== より専門抽象的な距離の定義 ==
高等学校までの数学では、特に断りがなければ、距離と言えば前述したユークリッド距離をさした。一方、現代数学ではさらに一般化された距離の定義として、空間上の任意の2点<math>x,y</math>に対し、負でない実数を対応させる関数<math>d(x,y)</math>を定義したとき、任意の点<math>x,y,z</math>について
{{see|距離空間}}
*<math>d(x,y)=0</math> ⇔ <math>x=y</math>
*<math>d(x,y)=d(y,x)</math>
*<math>d(x,y)+d(y,z)</math>≥<math>d(x,z)</math>
という性質が満たされたとき、<math>d(x,y)</math>を距離関数といい、この関数の値を<math>x,y,z</math>の距離と呼ぶ。
 
たとえば、平面上の2点<math>P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)</math>に対し、
 
<math>d(P,Q)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|</math>と定めると、これはユークリッド距離とは一致しないが、上記の性質を満たしているので距離とみなすことが出来る([[マンハッタン距離]])。
 
詳細については[[距離空間]]の頁を参照されたい。
 
== 参考文献 ==
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