「集積点」の版間の差分

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== 定義 ==
[[位相空間]] ''X'' の部分集合 ''S'' に対し、''X'' の点 ''x'' が ''S'' の'''集積点'''であるとは、''x'' を含む任意の[[開集合]]がなくとも一つの ''x'' と異なる ''S'' の点を含むことを指す。
 
この条件は[[T1空間| ''T''<sub>1</sub>-空間]]においては、''x'' の任意の[[近傍 (位相空間論)|近傍]]が ''S'' の点を無限に含むという条件に同値である(この条件は、もとの定義が「開近傍」を用いて集積点の判定を行うところを、開に限らない「一般の近傍」を使って行うことができるので、しばしば有用である)。
* ''x'' を含む任意の開集合 ''U'' について |''U'' &cap; ''S''| = |''S''| が満たされるとき、集積点 ''x'' を特に ''S'' の'''完全集積点''' {{lang|en|(''complete accumulation point'')}} という。
 
''X'' の点 ''x'' が[[点列]] (''x''<sub>''n''</sub>)<sub>''n''∈'''N'''</sub> の'''密集点''' {{lang|en|(''cluster point'')}} であるとは、''x'' の任意の近傍 ''V'' に対し ''x''<sub>''n''</sub> ∈ ''V'' なる自然数nが無限に存在するときにいう。空間が列収束ならば、これは点列 (''x''<sub>''n''</sub>)<sub>''n''∈'''N'''</sub> の部分列で ''x'' を極限とするものがあることと同値である。
 
[[有向点族|ネット]]の概念は[[点列]]の概念を一般化したもので、ネットに関する密集点の概念は凝集点と ω-集積点の概念をともに一般化するものになっている。集積および集積点の概念は同じように[[フィルター (数学)|フィルター]]に対しても定義することができる。
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