「多重線型写像」の版間の差分

<math display="inline">\mathcal B_1,\ldotsdotsc,\mathcal B_k</math> はそれぞれ <math display="inline">E_1,\ldotsdotsc,E_k</math> の（有限とは限らない）基底とすれば、[[制限 (数学)|制限]]写像 <math display="block">L(E_1,\ldotsdotsc,E_k;F)\to F^{\mathcal B_1\times\ldotsdotsb\times\mathcal B_k},\qquad f\mapsto f_{|\mathcal B_1\times\ldotsdotsb\times\mathcal B_k}</math> は[[全単射]]（そして[[線型同型|ベクトル空間の同型]]である。すなわち、{{mvar|k}}重線型写像は基底ベクトルの {{mvar|k}}-組における値（これはベクトル空間 {{mvar|F}} の任意のベクトルを選びうる）によって一意に決定される。

有限次元の場合、{{math|1 &le; ''i'' &le; ''k''}} に対して具体的に基底を <math display="inline">\mathcal B_i := \{\mathbf{e}_{i1},\ldotsdotsc,\mathbf{e}_{id_i}\}</math> と書けば、各空間 {{mvar|E{{sub|i}}}} の任意の元は <math display="block">x_i = \sum_{j=1}^{d_i} X_{ij} \textbf{e}_{ij}</math> と書けるから、それらの {{mvar|k}}-組 <math display="inline">x_1, \dotsc, x_k</math> に対する {{mvar|k}}-重線型写像 <math display="inline">f\colon E_1\times E_2\times\dotsb\times E_k \to F</math> の値は <math display="block">f(x_1,\dotsdotsc,x_k )= f\Bigl(\sum_{j_1=1}^{d_1} X_{1,j_1} \mathbf e_{1,j_1}, \dotsc, \sum_{j_k=1}^{d_k} X_{k,j_k} \mathbf e_{k,j_k}\Bigr)=\sum_{j_1=1}^{d_1} \dotsdotsb \sum_{j_k=1}^{d_k} \prod_{l=1}^k X_{l,j_l} f(\mathbf e_{1,j_1},\dotsc,\mathbf e_{k,j_k}) </math> であり、{{mvar|d{{sub|1}} ⋯ d{{sub|k}}}} 個のベクトル <math display="inline">f(\mathbf e_{1,j_1},\dotsc,\mathbf e_{k,j_k})</math> で完全に決定される。

* より単純な場合として、<math display="inline">E_1=\ldotsdotsb=E_k,\quad\mathcal B_1=\ldotsdotsb=\mathcal B_k=(e_i)_{i=1,\ldotsdotsc,n},</math> とすれば {{mvar|k}}-重線型写像 {{mvar|f}} は {{mvar|n{{exp|k}}}} 個のベクトル <math display="inline">f(e_{i_1},\dotsc,e_{i_k})</math> で決定される。特に、{{mvar|n}}-次元ベクトル空間 {{mvar|E}} 上の {{mvar|k}}-重線型形式の空間 {{math|''L{{sub|k}}''(''E'')}} の次元は {{mvar|n{{exp|k}}}} である。

さらに、{{mvar|F}} の基底 <math display="inline">\mathcal B := \{\mathbf{b}_1,\ldotsdotsc,\mathbf{b}_d\}</math> をとれば <math display="block">f(\textbf{e}_{1,j_1},\ldotsdotsc,\textbf{e}_{k,j_k}) = A_{j_1\cdotsdotsc j_k}^1\textbf{b}_1 + \cdotsdotsb + A_{j_1\cdotsdotsc j_k}^d\textbf{b}_d</math> を満たすスカラーのあつまり <math display="inline">\{A_{j_1\cdotsdotsc j_k}^l \mid 1\leq j_i\leq d_i, 1 \leq l \leq d\}</math> が一意に存在するから、{{mvar|f}} はこれらのスカラーによって完全に決定される: <math display="block">f(x_1,\ldotsdotsc,x_n) = \sum_{j_1=1}^{d_1} \cdots \sum_{j_n=1}^{d_n} \sum_{l=1}^{d} A_{j_1\dotsc j_k}^kl x_X_{1,j_1}\cdotsdotsb x_X_{k,j_k} \textbf{b}_l.</math>スカラー {{math|{{subsup|A|''j''{{sub|1}}…''j{{sub|k}}''|''l''}}}} を {{mvar|k}}-重線型写像 {{mvar|f}} の <math display="inline">\mathcal B_1,\ldots,\mathcal B_k</math> に対する[[構造定数 (数学)|構造定数]]あるいは'''成分''' (''compenent'') と呼ぶ。