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: <math>\binom{n}{k} = \frac{(n-k+1)}{1}\cdot\frac{(n-k+2)}{2}\cdot \dotsb \cdot \frac{n}{k}
</math>
となることを示せる。
== 全ての組合せを算出できる数式 ==
繰り返しを許さない組合せに関して，''n''と''k''を与えて，総数''C''(''n'', ''k'')個の組合せ全てを代数計算で算出する数式が"researchmap"に報告されている．
論文タイトルは「繰り返しを許さない組合せの各組を全て算出できる数式」で，2018年12月12日付けで「researchmap」<ref name="researchmap-1455rmu">長島 隆廣：[繰り返しを許さない組合せの各組を全て算出できる数式]，https://researchmap.jp/</ref>へ下記の数式（漸化式）が提出されている．
:: (1).<math>\,\,\,\,\,</math><math>\langle\,b_1,b_2,\ldots,b_{k^*},\ldots,b_k\,\rangle.</math><math>\,\,</math>（組合せの表示）．
:: (2).<math>\,\,\,\,\,</math><math>b_{k^*} = b_{{k^*}-1}+ t_{{k^*}-1}.</math>
:: (3).<math>\,\,\,\,\,</math><math>t_{{k^*}-1}=1,2,\ldots,n-k+{k^*}-b_{{k^*}-1}.</math>
:: (4).<math>\,\,\,\,\,</math><math>{k^*}=1,2,\ldots,k.</math>
:: (5).<math>\,\,\,\,\,</math><math>b_0 =0.</math><math>\,\,</math>（定義）．
:: (6).<math>\,\,\,\,\,</math><math>k \leq n.</math>
ここに，''n'', ''k'', {{math|<var>''k''</var><sup>*</sup>}}, {{math|<var>b</var><sub>''k''<sup>*</sup></sub>}} ({{math|<var>''k''</var><sup>*</sup>}} {{=}} 1,2, . . . , <var>k</var>)は，すべて正の整数とする．
（注：論文では，''k'' が ''r'' で，{{math|<var>''k''</var><sup>*</sup>}} が ''k'' である．）
== 注釈 ==
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