「微分」の版間の差分
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: <math> f(a+h) = f(a) + f'(a)h + \frac{f''(a)}{2} h^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} h^n + o(h^n)</math>
が成り立つ（[[テイラーの定理]]のペアノの剰余項による形）。これは、前述の、一点における微分可能性の1次近似による定式化の一般化にあたる。
実数値の変数 {{mvar|x}} をもち、<math>\mathbb{R}^m</math> に値をもつ[[ベクトル値関数]] {{math|''f''(''x'') {{=}} (''f''{{ind|1}}(''x''), …, ''f''{{ind|''m''}}(''x''))}} を考える。これが一点 {{math|''x'' {{=}} ''a''}} において'''微分可能'''であるというのは、
: <math>
という極限が存在することである{{efn|ここでベクトル値関数の極限は、2乗ノルム、絶対値ノルムなど、どんな[[ノルム]]を用いて定めても同じことである。}}。上記の極限として現れるベクトルを {{math|''f''′(''a'')}} で表す（これも<math>\mathbb{R}^m</math>の元である）。一般には {{math|''f''′(''a'')}} に特に名前はないが、{{math|''f''(''x'')}} が <math>\mathbb{R}^m</math> における点の位置の変化（[[曲線]]といってもよい）を表しているとみなす場合は、{{math|''f''′(''a'')}} を[[速度ベクトル]]とよぶことがある。
{{math|''f''(''x'') {{=}} (''f''{{ind|1}}(''x''), …, ''f''{{ind|''m''}}(''x''))}} が {{math|''x'' {{=}} ''a''}} において微分可能であることと、各成分 {{math|''f''{{ind|''i''}}(''x'')}} がすべて {{math|''x'' {{=}} ''a''}} において微分可能であることは同値である。また
: <math>f'(a)=(f'_1(a),\dots,f'_m(a))</math>
が成り立つ。
ベクトル値関数 {{math|''f''(''x'')}} が区間 {{mvar|I}} の各点で微分可能なとき、{{math|''f''(''x'')}} は区間 {{mvar|I}} において'''微分可能'''であるという。
ベクトル値関数については、高階微分も同様にして考えることができる。{{math|''f''′′(''a'')}} は、{{math|''f''(''x'')}} が <math>\mathbb{R}^m</math> における点の位置の変化を表しているとみなす場合は、[[加速度|加速度ベクトル]]とよばれる。
=== 超準解析による定式化 ===
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== {{anchors|多変数関数の微分法}}多変数函数の微分法 ==
{{main|ベクトル解析|多変数微分積分学}}
▲=== {{anchors|ベクトル値関数の微分}}ベクトル値函数の微分 ===
▲: <math>\mathbf{y}'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{\mathbf{y}(t+h) - \mathbf{y}(t)}{h} = (y'_1(t), \ldots, y'_n(t))</math>
=== 偏微分 ===
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