「絶対連続」の版間の差分

== 関数の絶対連続性 ==
=== 定義 ===
区間 ''<math>I'' &sube;\subset '''\mathbb{R'''}</math> から[[距離空間]] {{math|(''X'', ''d'')}} への[[写像]] {{math|''f'' : ''I'' → ''X''}} が'''絶対連続'''である (absolutely continuous) とは、以下を満たす次が成り立つことを言うである
任意の正の&epsilon;{{mvar|ε}} についてある正の数 &delta;{{mvar|δ}} が存在して、 ''{{mvar|I''}}[[素集合|互いに交わらないよう素]]な部分区間 {{math|(''x''<{{sub>''|k}}''</sub>, ''y''<{{sub>''|k}}''</sub>)}} たちから成る有限列が
:<math>\sum_{k}sum_k \left| y_k - x_k \right| < \delta</math>
を満たすときに常に
:<math>\sum_{k}sum_k d \left( f(y_k), f(x_k) \right) < \epsilon</math>
が成り立つ。
 
絶対連続性の一般化として、写像 {{math|''f'' : ''I'' → ''X''}} の'''絶対 {{mvar|p}}-連続性'''が
:<math>d \left( f(s), f(t) \right) \leq \int_{s}^{t} m(\tau) \, \mathrm{d} \tau \quad \forall [s, t] \subseteq I</math>
となるような ''L''<supmath>''L^p''</sup> (''I''; '''\mathbb{R'''})</math> 関数 ''{{mvar|m''}} の存在すること、として定められる。
 
=== 性質 ===
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