「微分」の版間の差分

関数 {{mvarmath|''f''(''x''{{ind|1}}, が…, {{math|'''R'x''{{msupind|''n''}})}} 上の実数値函数ならばについて、{{mvar|f}} の各偏微分は {{mvar|f}} の各座標軸方向への変分化を測るものである。例えば、{{mvar|f}} が {{mvar|x, y}} の函数であれば {{mvar|x}}-方向、{{mvar|y}}-方向の変動を偏微分は測ることができるが、しかし対角線 {{math|1=''y'' = ''x''}} など任意の方向への {{mvar|f}} の変動化を直接的に測るものではない。それらを測るのはが方向微分である。

ベクトル {{math|1='''v''' {{=}} (''v''{{ind|1}}, …, ''v''{{ind|''n''}})}} に対して、関数 {{mvar|f}} の点 {{mvarmath|x''a'' {{=}} における (''a''{{mathind|1}}, …, ''a'v'{{ind|''n''}}-)}} における {{mvar|v}} 方向への'''方向微分係数'''とは、[[差分商]]の極限

: <math>D_{\mathbf{v}}{f}(\mathbf{x}) = \lim_{h\to 0}{\frac{f(\mathbf{x}a + h\mathbf{v}hv) - f(\mathbf{x}a)}{h}}</math>

{{mvar|f}} が点 {{mvar|xa}} において任意すべての変数に関して偏微分を持ち、かつ連続可能ならば、あらゆるベクトル {{mvar|fv}} について、点 {{mvar|a}} における {{mvar|v}} 方向への方向微分係数が存在する。またこのとき、方向微分係数は {{mvar|v}} に関して[[線型写像|線型]]である。特に、{{math|''v'' {{=}} (''v''{{ind|1}}, …, ''v''{{ind|''n''}}-方向への)}} に対して方向微分係数 {{math|''D''{{ind|''v''}}''f''(''a'')}} は、等式

: <math>D_{\mathbf{v}}{f}D_vf(\boldsymbol{x}a) = \sum_{j=1}^n v_j \frac{\partial f}{\partial x_j}(a)</math>