「ベータ分布」の版間の差分

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{{確率分布
|名前 =ベータ分布
|型 = 密度
|画像/確率関数 = [[ファイル画像:Beta distribution pdf.svg|325px|ベータ分布の確率密度関数]]
|画像/分布関数 = [[ファイル画像:Beta distribution cdf.svg|325px|ベータ分布の累積分布関数]]
|母数 = <math>\alpha > 0</math> 形状母数<br /><math>\beta > 0</math> 形状母数
|台 = <math>x \in [0; 1]</math>
|確率関数 = <math>\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}} {\mathrmoperatorname{B} (\alpha,\beta)}</math><br />(({{math|B}} は[[ベータ関数]])
|分布関数 = <math>I_x (\alpha ,\beta )</math>
|期待値 = <math>\operatorname{E} [X] = \frac{\alpha}{\alpha +\beta}</math><br /><math>\operatorname{E} [\ln X] = \psi (\alpha ) - \psi(\alpha + \beta)</math><br />(ψは[[ディガンマ関数]])
|中央値 = <math>\begin{align}
& I_{1/2}^{[-1]}(\alpha ,\beta) & \text{(in general)} \\
&\approx \frac{\alpha - 1/3}{\alpha + \beta - 2/3} & \text{for } \alpha>1, \beta >1
\end{align}</math>
|最頻値 = <math>\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}</math> for <math>\alpha, \beta >1</math>
|分散 = <math>\operatorname{var} [X] = \frac{\alpha \beta}{(\alpha +\beta )^2(\alpha +\beta +1)}\!</math><br /><math>\operatorname{var} [\ln X] = \psi_1(\alpha ) - \psi_1(\alpha + \beta )</math><br />(({{math|ψ<{{sub>|1</sub>}}}} は[[ポリガンマ関数|トリガンマ関数]])
|歪度 = <math>\frac{2(\beta -\alpha )\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha +\beta +2)\sqrt{\alpha\beta}}</math>
|尖度 = <math>\frac{6[(\alpha - \beta )^2 (\alpha +\beta + 1) - \alpha \beta (\alpha + \beta + 2)]}{\alpha \beta (\alpha + \beta + 2) (\alpha + \beta + 3)}</math>
|エントロピー = <math>\begin{align}\ln\mathrm{B}(\alpha,\beta)-(\alpha-1)\psi(\alpha) \\
-(\beta-1)ln \psioperatorname{B} (\alpha ,\beta) +)-(\alpha+\beta -21)\psi (\alpha+\beta ) \\end{align}</math>
-(\beta -1)\psi (\beta ) +(\alpha +\beta -2)\psi (\alpha +\beta )
|モーメント母関数=<math>1 + \sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}</math>
\end{align}</math>
|特性関数=<math>{}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\!</math> (see [[Confluent hypergeometric function]])
|モーメント母関数 = <math>1 + \sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{\alpha +r}{\alpha +\beta +r} \right) \frac{t^k}{k!}</math>
|特性関数 = <math>{}_1F_1_1 F_1 (\alpha; ;\alpha +\beta; ;i\,t)\!</math> (see [[Confluent hypergeometric function]])
}}
'''ベータ分布'''(ベータぶんぷ、{{lang-en-short|beta distribution}})は、[[確率分布#連続型|連続型]]の[[確率分布]]であり、第1種および第2種がある。
== 第1種ベータ分布 ==
第1種ベータ分布を単に「ベータ分布」と呼ぶ場合もある。その[[確率密度関数]]は以下で定義される。
:<math>f(x; \alpha ,\beta) )= \frac{x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha ,\beta)}</math>
ここで< {{math>|B(\alpha\!''α'', \beta''β'')</math>}} は[[ベータ関数]]であり、確率変数の取る値は<math> {{math2|0\le ≤ ''x\le1</math>'' ≤ 1}}、パラメータ<math>\alpha\! {{math2|''α'', \beta</math>''β''}} はともに正の実数である。期待値は <{{math>\frac|{\alpha}{\alphasfrac|''α''|''α'' +\beta ''β''}}}}</math>、分散は <math>\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}</math> である。自然パラメータを<math>\eta {{math2|''η'' {{=}} (\alpha-''α'' &minus; 1, \beta-''β'' &minus; 1)</math>}} として以下のように書き換えられるのでベータ分布は指数型分布族である。
:<math>f(x;\eta) = h(\eta) \exp( \eta \cdot u(x) )</math>
ただし <math>h(\eta) = \frac{1}{B(\alpha,\beta)} , u(x) = (\log x, \log (1-x))</math> である。
 
== 第2種ベータ分布 ==
確率変数<math> {{mvar|X\!</math>}} が第1種ベータ分布にしたがうとき、<{{math>\frac|{X}{sfrac|''X''|1- &minus; ''X''}</math>}}} したがう分布を第2種ベータ分布と呼ぶ。その確率密度関数は以下で定義される。
:<math>\frac{1}{B(\alpha,\beta)}\frac{x^{\alpha-1}}{(1+x)^{\alpha+\beta}}</math>
 
== 参考文献 ==
* 蓑谷千凰彦, 統計分布ハンドブック, 朝倉書店 (2003).
* B. S. Everitt (Everitt(清水良一訳), )、統計科学辞典, 朝倉書店 (2002).
 
== 関連項目 ==
* [http://www.cbrc.jp/%7Etominaga/translations/gsl/ GSL reference manual Japanese version]
 
{{確率分布一覧|連続確率分布}}
 
{{DEFAULTSORT:へえたふんふ}}
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