「ベータ分布」の版間の差分
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|画像/分布関数 = [[画像:Beta distribution cdf.svg|325px|ベータ分布の累積分布関数]]
|母数 = <math>\alpha >0</math> 形状母数<br /><math>\beta >0</math> 形状母数
|台 = <math>
|確率関数 = <math>\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{\operatorname{B} (\alpha,\beta)}</math><br />（{{math|B}} は[[ベータ関数]]）
|分布関数 = <math>I_x (\alpha ,\beta )</math>
14行目:
\end{align}</math>
|最頻値 = <math>\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}</math> for <math>\alpha, \beta >1</math>
|分散 = <math>\operatorname{var} [X]=\frac{\alpha \beta}{(\alpha +\beta )^2(\alpha +\beta +1)}
|歪度 = <math>\frac{2(\beta -\alpha )\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha +\beta +2)\sqrt{\alpha\beta}}</math>
|尖度 = <math>\frac{6[(\alpha -\beta )^2 (\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}</math>
22行目:
\end{align}</math>
|モーメント母関数 = <math>1+\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{\alpha +r}{\alpha +\beta +r} \right) \frac{t^k}{k!}</math>
|特性関数 = <math>{}_1 \! F_1 (\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)</math>
}}
'''ベータ分布'''（ベータぶんぷ、{{lang-en-short|beta distribution}}）は、[[確率分布#連続型|連続型]]の[[確率分布]]であり、第1種および第2種がある。
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:<math>f(x; \alpha ,\beta )=\frac{x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha ,\beta)}</math>
ここで {{math|B(''α'', ''β'')}} は[[ベータ関数]]であり、確率変数の取る値は {{math2|0 ≤ ''x'' ≤ 1}}、パラメータ {{math2|''α'', ''β''}} はともに正の実数である。期待値は {{math|{{sfrac|''α''|''α'' + ''β''}}}}、分散は <math>\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}</math> である。自然パラメータを {{math2|''η'' {{=}} (''α'' − 1, ''β'' − 1)}} として以下のように書き換えられるので、ベータ分布は指数型分布族である。
:<math>f(x;\eta
ただし <math>h(\eta )
== 第2種ベータ分布 ==
確率変数 {{mvar|X}} が第1種ベータ分布に従うとき、{{math|{{sfrac|''X''|1 − ''X''}}}} の従う分布を第2種ベータ分布と呼ぶ。その確率密度関数は以下で定義される。
:<math>\frac{1}{B(\alpha ,\beta )}\frac{x^{\alpha -1}}{(1+x)^{\alpha +\beta}}</math>
== 参考文献 ==
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