「ベータ分布」の版間の差分

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{{確率分布
|名前 =第1種ベータ分布
|型 = 密度
|画像/確率関数 = [[画像:Beta distribution pdf.svg|325px|ベータ分布の確率密度関数]]
|特性関数 = <math>{}_1 \! F_1 (\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)</math>([[Confluent hypergeometric function]]を参照)
}}
{{確率分布 |
'''ベータ分布'''(ベータぶんぷ、{{lang-en-short|beta distribution}})は、[[連続確率分布]]であり、第1種および第2種がある。
name =第2種ベータ分布|
type =密度|
pdf_image =[[Image:Beta prime pdf.svg|325px]]|
cdf_image =[[Image:Beta prime cdf.svg|325px]]|
parameters =<math>\alpha > 0</math> shape (実数)<br /><math>\beta > 0</math> shape (実数)|
support =<math>x \in (0,\infty)\!</math>|
pdf =<math>f(x) = \frac{x^{\alpha-1} (1+x)^{-\alpha -\beta}}{B(\alpha,\beta)}\!</math>|
cdf =<math> I_{\frac{x}{1+x}(\alpha,\beta) }</math><br><math>I_x(\alpha,\beta)</math> は[[不完全ベータ関数]]|
mean =<math>\frac{\alpha}{\beta-1} \text{ if } \beta>1</math>|
median =|
mode =<math>\frac{\alpha-1}{\beta+1} \text{ if } \alpha\ge 1\text{, 0 otherwise}\!</math>|
variance =<math>\frac{\alpha(\alpha+\beta-1)}{(\beta-2)(\beta-1)^2} \text{ if } \beta>2</math>|
skewness =<math>\frac{2(2\alpha+\beta-1)}{\beta-3}\sqrt{\frac{\beta-2}{\alpha(\alpha+\beta-1)}} \text{ if } \beta>3</math>|
kurtosis =|
entropy =|
mgf =<math>\frac{e^{-t}\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\beta)}G_{1,2}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha+\beta\\\beta,0\end{matrix}}\;\right|\,-t\right)</math>|
char =|
}}
 
'''ベータ分布'''(ベータぶんぷ、{{lang-en-short|beta distribution}})は、[[連続確率分布]]であり、第1種および第2種がある。単にベータ分布と呼んだ場合、第1種ベータ分布を指す
 
== 第1種ベータ分布 ==
第1種ベータ分布を単に「ベータ分布」と呼ぶ場合もある。その[[確率密度関数]]は以下で定義される。
:<math>f(x; \alpha ,\beta )=\frac{x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha ,\beta)}</math>
ここで {{math|B(''α'', ''β'')}} は[[ベータ関数]]であり、確率変数の取る値は {{math2|0 ≤ ''x'' ≤ 1}}、パラメータ {{math2|''α'', ''β''}} はともに正の実数である。期待値は {{math|{{sfrac|''α''|''α'' + ''β''}}}}、分散は <math>\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}</math> である。自然パラメータを {{math2|''η'' {{=}} (''α'' &minus; 1, ''β'' &minus; 1)}} として以下のように書き換えられるので、ベータ分布は指数型分布族である。
== 第2種ベータ分布 ==
確率変数 {{mvar|X}} が第1種ベータ分布に従うとき、{{math|{{sfrac|''X''|1 &minus; ''X''}}}} の従う分布を第2種ベータ分布([[:en:Beta prime distribution|beta prime distribution]])と呼ぶ。その確率密度関数は以下で定義される。
:<math>f(x; \alpha ,\beta )=\frac{1}{B(\alpha ,\beta )}\frac{x^{\alpha -1}}{(1+x)^{\alpha +\beta}}</math>
 
== 参考文献 ==
1,114

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