「ベータ分布」の版間の差分

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== 第1種ベータ分布 ==
第1種ベータ分布({{lang-en-short|beta distribution of the first kind}})の[[確率密度関数]]は以下で定義される。
:<math>f(x; \alpha ,\beta )=\frac{x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha ,\beta)}</math>
ここで {{math|B(''α'', ''β'')}} は[[ベータ関数]]であり、確率変数の取る値は {{math2|0 ≤ ''x'' ≤ 1}}、パラメータ {{math2|''α'', ''β''}} はともに正の実数である。期待値は {{math|{{sfrac|''α''|''α'' + ''β''}}}}、分散は <math>\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}</math> である。自然パラメータを {{math2|''η'' {{=}} (''α'' &minus; 1, ''β'' &minus; 1)}} として以下のように書き換えられるので、ベータ分布は指数型分布族である。
 
== 第2種ベータ分布 ==
確率変数 {{mvar|X}} が第1種ベータ分布に従うとき、{{math|{{sfrac|''X''|1 &minus; ''X''}}}} の従う分布を第2種ベータ分布({{lang-en-short|[[:en:Beta prime distribution|beta prime distribution]], beta distribution of the second kind}})と呼ぶ。その確率密度関数は以下で定義される。
:<math>f(x; \alpha ,\beta )=\frac{1}{B(\alpha ,\beta )}\frac{x^{\alpha -1}}{(1+x)^{\alpha +\beta}}</math>
 
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