「連続確率分布」の版間の差分

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'''連続確率分布'''(れんぞくかくりつぶんぷ、{{lang-en-short|continuous probability distribution}})や'''連続型確率分布'''(れんぞくがたかくりつぶんぷ)は、[[確率論]]において、[[確率分布#分布関数|累積分布関数]]が[[連続 (数学)|連続]]な[[確率分布]]である。連続確率分布となるのは確率変数 {{mvar|X}} が連続型のときに限られる。絶対連続分布と区別する際は'''広義連続分布'''と呼ぶ
 
[[累積広義連続分布では、確率変]]が[[連続 (数学)|連続]]X 場合を値 a に対して常に {{math|P(''X'' {{=}} ''a'') {{=}} 0}} である。これは必要十分条件である。しかし、確率変数が連続型でも広義連続分布'''とで無場合は、必ずしもそではない。広義連続分布ではい例として[[退化分布]]がある。退化分布などでは {{math|P(''X'' {{=}} ''a'') > 0}} となることもありうる。
 
== 区間に対する確率 ==
{{see also|確率密度関数}}
通常は広義連続分布を扱うが、広義連続分布では確率分布の[[確率変数]] {{mvar|X}} において、全ての[[実数]] {{mvar|a}} について {{math|P(''X'' {{=}} ''a'') {{=}} 0}} になる。すなわち、{{mvar|X}} が値 {{mvar|a}} を取る確率は、任意の {{mvar|a}} について {{math|0}} である。[[離散確率分布]]では[[確率]] {{math|0}} の事象は空事象、つまり起こらないことを意味する(例えばサイコロの目が3.5になる確率は {{math|0}})が、連続型確率変数ではこれは正しくない。例えば、ある木の葉っぱの幅を測るとして、それが3.5cmとなることもありうるが、その確率は {{math|0}} である。何故なら3cmと4cmの間には無限に多数の値があるためであり、個々の値が測定できる確率はゼロだが、ある[[区間 (数学)|区間]]の値となる確率は {{math|0}} ではなく、例えば P(3 ≦ X ≦ 4) = 0.1 のように区間に対して確率を考える。''X'' が区間のような[[無限]]集合内の何らかの値を取る確率は、個々の確率値を単純に加算するのではなく、[[確率密度関数]]を[[定積分]]して求める。この例では <math> \int_3^4 f(x)\, dx = 0.1 </math> である。また、[[累積分布関数]]を用い P(3 ≦ X ≦ 4) = F(4) - F(3) という扱い方もする。
 
== 広義連続分布 ==
[[累積分布関数]]が[[連続 (数学)|連続]]の場合を'''広義連続分布'''という。広義連続分布では無い例として[[退化分布]]がある。退化分布などでは {{math|P(''X'' {{=}} ''a'') > 0}} となることもありうる。
 
==== 絶対連続分布 ====
分布関数が「連続」であるという用語は、「ルベーグ測度に対して絶対連続」という意味で使われることもある。{{mvar|σ}}-有限である[[確率空間]]において、[[確率分布#確率変数の確率分布|確率分布]]が[[可測関数]]の[[ルベーグ積分]]で表されるための必要十分条件は、[[確率分布#分布関数|分布関数]] {{mvar|F{{sub|X}}}} が'''[[絶対連続]]'''であることである([[ラドン=ニコディムの定理]])。このときのラドン=ニコディム微分を[[確率密度関数]]という。確率分布 {{mvar|P{{sub|X}}}} が絶対連続であるとは、[[ルベーグ測度]]が {{math|0}} の <math>\mathbb{R}</math> の[[部分集合]] {{mvar|N}} をとる確率が {{math|0}} である。絶対連続分布は広義連続分布の一部である。
 
ルベーグ測度が {{math|0}} の非可算な集合(たとえば[[カントール集合]])も存在するため、分布関数が連続(つまり、任意の実数 {{mvar|a}} について {{math2|P(''X'' {{=}} ''a'') {{=}} 0}})であっても絶対連続でない例が存在する。[[カントール分布]]は(本来の意味では)連続だが、絶対連続ではない。
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