「条件付期待値」の版間の差分

確率論において、[[確率変数]]の'''条件付き期待値'''（じょうけんんつききたいち、{{lang-en-short|conditional expectation}}）とは初等的には何らかの情報が与えられた場合の確率変数に期待される値のことである。しかし、より一般の場合の定義では、確率変数の条件付き期待値は新しい確率変数であり、元の確率変数より強い可測性をもつ。このことは新しい確率変数を決定するのに必要な情報が減少したということなので、情報を減らしたときに確率変数がどうなるかを計算したものとみることもできる。この方法で情報を最小のものにすると、条件付き期待値は定数になり[[期待値]]と一致する。初等的な定義では、この最小の情報に情報を追加したときの挙動を見ているといってもよい。

初等的な定義では'''条件付き期待値'''は[[条件付き確率]]による期待値である。''P''(''A'') > 0 をみたす[[事象]] ''A'' が起きたことが分かったときに、事象 ''B'' が起きる条件付確率は

で定義され、事象 ''A'' が起きたことが分かったときの確率変数 ''X'' の条件付き期待値は

大小二つのサイコロを投げて大きいほうのサイコロの目を {{mvar|X}}、小さいほうのサイコロの目を {{mvar|Y}} としよう。条件付き期待値を計算したい確率変数を2つのサイコロの目の積 {{mvar|XY}} とし、{{math2|''Y'' {{=}} 3}} という情報が分かっているとする。

とするのがよさそうだが、正規分布は[[連続確率分布]]なので、{{math2|''Y'' {{=}} ''y''}} となる確率は {{math|0}} である。よって、初等的な定義を使うことはできない。そこで、一般の場合は条件付き期待値として満たすべき条件を定めて、それを満たす唯一の確率変数を条件付き期待値として定義する。

確率空間 {{math2|(Ω, ''F'', ''P'')}} 上の[[可積分]]確率変数 {{mvar|X}} と σ集合体 {{math2|''G'' ⊂ ''F''}} が与えられたとき、確率変数 {{mvar|Y}} が {{mvar|X}} の {{mvar|G}} に関する条件付き期待値であるとは