「フロベニウスの定理 (微分トポロジー)」の版間の差分
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[[数学]]の[[微分位相幾何学]]において 、 '''フロベニウスの定理（ふろべにうすのていり、[[英語|英]]: the Frobenius theorem）'''は、[[:en:Underdetermined_system|劣決定系]]における[[線型]]な[[一階偏微分方程式]]の独立な解の[[:en:Maximal_set|Maximal set]]を求めるため
== 導入 ==
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フロベニウスの定理は、演算子 {{Math|''L<sub>k</sub>''}} が[[対合]]性として知られるある[[微分方程式系の可積分条件|可積分性条件]]を満たす場合に限り、この問題が局所的に解を持つと主張している<ref>Here ''locally'' means inside small enough open subsets of {{Math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}. Henceforth, when we speak of a solution, we mean a local solution.</ref> 。 具体的には、次の式
<math>L_iL_ju(x)-L_jL_iu(x)=\sum_k c_{ij}^k(x)L_ku(x)</math>
が {{Math|1 ≤ ''i'', ''j'' ≤ ''r''}} において、全ての ''C''<sup>2</sup> 級関数 ''u'' と''、''および ''x'' に依存することが認められているいくつかの係数 ''c'' <sup>''k''</sup> <sub>''''ij''''</sub> ''(x)'' に対して関係を満たす必要がある。言い換えれば、 [[交換子]] {{Math|[''L<sub>i</sub>'', ''L<sub>j</sub>'']}} は、任意の点で{{Math|''L<sub>k</sub>''}} の[[線型包]]の内部になければならない。 対合の条件は[[偏導関数]]の可換性の一般化である。 実際、フロベニウス定理の証明戦略では、結果として生じる演算子が交換を行うように演算子 {{Math|''L<sub>i</sub>''}} 間で線形結合を形成し、そして {{Math|''y''<sub>1</sub>, ..., ''y<sub>r</sub>''}} に関して厳密な[[偏導関数]]のための[[座標|座標系]] {{Math|''y<sub>i</sub>''}}があることを示す。
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