「フロベニウスの定理 (微分トポロジー)」の版間の差分

[[数学]]の[[微分位相幾何学]]において 、 '''フロベニウスの定理（ふろべにうすフロベニウスのていり、[[英語|英]]: the Frobenius theorem）'''は、[[:en:Underdetermined_system|劣決定系]]における[[線型]]な[[一階偏微分方程式]]の独立な解の[[:en:Maximal_set|Maximal set]]を求めるための[[必要十分条件]]を与える。 現代の[[幾何学]]的に言えば、この定理は、[[積分曲線]]が単一のベクトル場によって与えられるのと同様に最大[[積分多様体]]の接束が[[微分方程式系の可積分条件]]を満たすベクトル場によって張られ、葉層構造を有することへの必要十分条件を与える。この定理は[[微分位相幾何学|微分トポロジー]]と[[可微分多様体|多様体上の微積分学]]の基礎である。

は明らかに複数の解を認める。それにも関わらず、これらの解はそれらが完全に記述されることができるために十分な構造を、依然として有する。 最初の観察では、例え ''f''₁ と ''f'' ₂ が2つの異なる解であったとしても、''f''₁ と ''f'' ₂ の [[等位集合|レベル集合]]は重複しなければならない。実際、この系の等位面は、{{Math|''x'' − ''y'' + ''z'' {{=}} ''C''}} （ {{Mvar|C}} は定数）で表現される {{Math|'''R'''³}} 上に存在する全ての平面である。２番目の観察は、一度等位面が既知となれば、全ての解を任意の関数に関して与えることができるということである。 等位面上の解 ''f の''値は定義上定数であるため、関数 ''{{Math|''C''(''t'')}}'' を次のように定義する。